施密特正交化的几何解释

线性代数中最头疼的公式恐怕就是施密特正交化了。但其实搞清楚它的几何原理之后公式的记忆就简单多了，数学重在理解!

给定一组基 α1,α2,...,αn ,将其变换成另外一组正交基 β1,β2,...,βn ,使这两组基等价
施密特正交化方法：
β1=α1
β2=α2−(α2,β1)(β1,β1)β1
…
βn=αn−(αn,β1)(β1,β1)β1−(αn,β2)(β2,β2)β2−...−(αn,βn−1)(βn−1,βn−1)βn−1

首先清除一个公式，两个向量 α,β ,那么 α 在 β 上的投影向量为 (α,β)(β,β)β
如图红色部分即为投影部分

则蓝色部分向量为 α2−(α2,β1)(β1,β1)β
对应两个向量的施密特法则
β1=α1
β2=α2−(α2,β1)(β1,β1)β1
可见蓝色向量为 β2 与 β1 是垂直的

而当向量个数为3时，对应三维空间的几何解释如图

其中绿色的为需要正交的原始基 αi （ α1 是红色的因为 α1 同时也是 β1 ）
将二维得到的 β2 平移到坐标原点出后则 α3 在xoy平面的投影即是 α3−(α3,β1)(β1,β1)β1−(α3,β2)(β2,β2)β2 ,即 α3 在 β1 和 β2 上的投影组成的平行四边形的斜边，则得到的 β3 就是 α3 与该投影的向量差，即红色部分的 β3 ,显然可以看出来 β1,β2,β3 是正交的。

同样可以推广到三维以上的欧氏空间 Rm ,即施密特正交公式。