换钱的方法数－Java：时间复杂度为O(N*aim)的动态规划方法

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 * 换钱的方法数
 *
 * 【题目】
 * 给定数组arr，arr中所有的值都为正数且不重复。每个值代表一种面值的货币，每种面值的货币可以使用任意张，再给定一个整数aim
 * 代表要找的钱数，求换钱有多少种方法。
 *
 * 【难度】
 * 中等
 *
 * 【解答】
 * 接下来介绍时间复杂度为O(N*aim)的动态规划方法。我们来看上一个动态规划方法中，求dp[i][j]值的时候的步骤３，这也是最关
 * 键的枚举过程：
 * 完全不用arr[i]货币，只使用arr[0..i-1]货币时，方法数为dp[i-1][j]。
 * 用１张arr[i]货币，剩下的钱用arr[0..i-1]货币组成时，方法数为dp[i-1][j-arr[i]]。
 * 用２张arr[i]货币，剩下的钱用arr[0..i-1]货币组成时，方法数为dp[i-1][j-2*arr[i]]。
 * ......
 * 用k张arr[i]货币，剩下的钱用arr[0..i-1]货币组成时，方法数为dp[i-1][j-k*arr[i]]。j-k*arr[i]>=0，k为非负整数。
 * 步骤３中，第１种情况的方法数为dp[i-1][j]，而第２种情况一直到第k种情况的方法数累加值其实就是dp[i][j-arr[i]]的值。
 * 所以步骤３可以简化为dp[i][j]=dp[i-1][j]+dp[i][j-arr[i]]。一下省去了枚举的过程，时间复杂度也减小到O(N*aim) ，
 * 具体请参看如下代码中的coins4方法。
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 */
public class ChangeMoneyMethodNumberSolution4 {

    public static int coins4(int[] arr, int aim) {
        if (arr == null || arr.length == 0 || aim < 0) {
            return 0;
        }
        int[][] dp = new int[arr.length][aim + 1];
        for (int i = 0; i < arr.length; i++) {
            dp[i][0] = 1;
        }
        for (int j = 1; arr[0] * j <= aim; j++) {
            dp[0][arr[0] * j] = 1;
        }
        for (int i = 1; i < arr.length; i++) {
            for (int j = 1; j <= aim; j++) {
                dp[i][j] = dp[i - 1][j];
                dp[i][j] += j - arr[i] >= 0 ? dp[i][j - arr[i]] : 0;
            }
        }
        return dp[arr.length - 1][aim];
    }

    public static void main(String[] args) {
        int[] arr = {2, 5, 3};
        int aim = 10;
        System.out.printf("The method number is: %d", coins4(arr, aim));
    }

}

// ------ Output ------
/*
The method number is: 4
*/