异步电机矢量分析与控制

一、 旋转异步电机的矢量描述方法

1 异步电机的结构

1.1 异步电机定子

异步电机定子有三个空间对称分布绕组，相互之间角度差120°；如图1所示，定子三相绕组分布处于A、B、C轴线上。

1.2 异步电子的转子

异步电机转子可以自由旋转。标准异步电机转子为鼠笼转子，但是可以等效为三个空间对称分布的转子绕组，相互之间角度差120°（证明略）。如图1所示，转子三相绕组分别处于 a、b、c轴线上。

异步电机定子与转子之间有气隙，异步电机的完整磁路会两次经过气隙。定子绕组电流可以产生磁势，磁势几乎全部消耗于气隙。

2 绕组电流产生的磁势（mmf）：

如果定子绕组电流产生的磁势在空间呈正弦分布，则磁势A在距离其θ角度的空间位置上的值为A×cosθ，如图1.2.1所示。这时可以将磁势A看作矢量，因为矢量有下述的两个重要特性。

2.1 矢量的基本特性

2.1.1 矢量的分量

矢量A在距离其θ角度的某轴的分量被看作矢量A在该轴上的投影。
投影的幅值 = A×cosθ，如图1.2.2。
这一概念等同于磁势在空间呈正弦分布。

2.1.2 矢量的加法

假设有正弦波 Acosx 和 Bcos(x+θ)；余弦函数也是正弦波。
他们分别对应矢量 $A$ 和 $B$，如图1.2.3所示。

1. 矢量 $A$ 和 $B$ 之和为矢量 $C$
   为将矢量运算数字化，我们采用MATLAB的矢量表达方式，以形式 [K_α , K_β] 来表达矢量。K_α为水平轴；K_β为垂直轴。矢量 $A$ , $B$以及他们之和 $C$可以分别表示如下：
   $A$ = [ A, 0 ]
   我们将$A$放在Kα轴上，即角度x为0的位置，纯粹是为了简化运算。其实你也可以将矢量$A$放在45°的位置上（对应角度x=45°），但这样做除了使表达式变复杂之外，并不影响最终结论。
   $B$ = [ Bcosθ, Bsinθ ]
   $C$ = $A$+$B$ = [ A+Bcosθ, Bsinθ ]
   模： |$C$|² = (A+Bcosθ)²+(Bsinθ)²
   角度： tg(${\rm Y}$) = $\frac{Bsin\theta }{A+Bcos\theta }$
2. 正弦波 Acosx和 Bcos(x+θ)之和
   设 A cosx + B cos(x+θ) = C cos(x+Y)
   等式的左、右分别展开：
   cosx (A+Bcosθ) – sinx (Bsinθ) = cosx C cosY – sinx C sinY
   cosx 与 sinx 的系数应分别相等，因此：
   A+Bcosθ = C cosY (式 11.1)
   Bsinθ = C sinY (式 11.2)
   (式 11.1)²+ (式 11.2)² 得：(A+Bcosθ)²+(Bsinθ)²=C²
   (式 11.1) 除 (式 11.2)，得：tg(Y) = $\frac{Bsin\theta }{A+Bcos\theta }$

对照（式10）,可以得出结论：C就是矢量 $C$ 的幅值，Y就是矢量 $C$ 的角度，因此正弦波Ccos(x+Y)对应的矢量正是 $C$ 。由此证明正弦波加运算与矢量加法在数学上是完全等效的。
上述矢量特性是我们可以用矢量来代替异步电机中的正弦波的基本理论依据。但是在进一步以矢量方法分析异步电机之前，我们必须先将电机学的重要假设“异步电机定子绕组电流产生的磁势在空间呈正弦分布”给证明了。

2.2 证明绕组电流产生的磁势是正弦分布

首先说明单个线圈产生的磁势是方波。如图1.2.5所示，水平放置的一个线圈，根据右手定则，产生一个垂直方向的磁势，磁势的大小F=I 。

使用 Lipo 老师的理想电机绕组，定子绕组的绕线密度沿圆周正弦分布，如图1.2.6所示。

设沿圆周分布的绕组绕线密度函数为 $\rho$(θ)=$\frac{1}{2}$Nsinθ
此公式读者可能有如下两个疑问：
1）按图1.2.6所示θ在0°处的线圈是最密集的，怎么公式却说此处绕线密度为0呢？
答：原因是0°处的磁势实际上是90°处的线圈提供，线圈的理论位置是线圈产生的磁势的位置，与线圈的物理摆放位置有90°相位差。图1.2.6中垂直位置上的线圈最少，所以0°处的绕线密度为0。
2) 绕线密度函数的幅值为什么是 $\frac{1}{2}$N
答：N为线圈匝数，此幅值是经过计算证明的，后面再说明。

任意角度θ处的磁势为(θ-π/2)到(θ+π/2)范围内的线圈产生的磁势的总和，因此：

磁势在空间呈正弦分布，证明完毕。
磁势最大值等于NI，与实际一致。因此反证上面的绕线密度函数的幅值就是 $\frac{1}{2}$N 。

普通交流电机的绕组大多为集中绕组，集中绕组的详细分析在附录一中，有兴趣的读者请自行参考，里面涉及复杂的电机绕组理论。考虑到电机绕组理论经常令初学者晕头转向，我们这里就不浪费大家的时间了，直接上结论：集中绕组产生的正弦基波磁势是有用的，谐波磁势只会产生转矩脉动，需要采取措施予以削弱。后面的异步电机矢量分析暂不涉及谐波影响。

3 磁势矢量的数学表达方式

依然以形式 [ K_α , K_β ] 来表达矢量，则有：

上面的矢量表达式固然正确，但是不够简洁。按着这条路继续走下去，会把我们带到异步电机矩阵分析的旧坑里。故此决定以复数形式来表达平面矢量，因为复数本身就是一种特殊的二维矢量。理论上复数加减运算完全等同矢量加减运行，复数乘法完美对等矢量旋转变化；但是矢量的点乘和叉乘没有相应的复数运算法则定义，那我们只要在处理该类计算时小心一点就可以了。

令定子复坐标s的Re轴与定子A轴重合，则用复数表示的三相磁通矢量为：

其中矢量符号 $a$=e^-j2π/3，由于后面我们经常要用到他，所以有必要先将 $a$ 的特性集中论述一下：

1. $a$²= e^-j4π/3
2. $a$³= 1
3. 1+ $a$ + $a$² = 0

磁链是磁势产生的，磁势是电流产生的；既然磁势可以写成矢量，磁链和电流也就可以写成矢量；磁链矢量和电流矢量的方向与磁势矢量的方向相同。电压本身虽然没有方向，但是他产生的电流有方向，因此按同一性原理，可以按相同规则将电压也写成矢量。定子三相磁链、电流和电压的表达式如下：

4 合成磁势

定子三相矢量可以相加产生定子合成矢量。
转子三相矢量与转子合成矢量
令转子复坐标r的Re轴与转子a相重合，可以得到转子三相矢量的复数表达式：

转子三相矢量相加产生转子合成矢量：

需要提醒一下，这里的转子合成矢量是转子复坐标r中的矢量，特别用上标r以示区分。转子复坐标r与定子复坐标s之间有角度差 θ_r ，参见图1。根据复数的旋转特性，存在下面的转换关系：

5 证明定子三相绕组通以三相交流电（相序互差120°）后产生旋转合成电压矢量

设定子三相电压如下：

顺手再证明一下，如果定子三相电压反序，即：

旋转合成矢量：

6 证明：无零序时，合成矢量 $K$ 在A、B、C轴上的投影的 2/3 就是K_A、K_B、K_C

证明完毕。合成矢量的这个几何特性赋予了合成矢量极佳的物理直观性。
（未完待续）