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MATLAB 求解线性规划(含整数规划和0-1 规划)问题
线性规划是数学规划中的一类最简单规划问题，常见的线性规划是一个有约
束的，变量范围为有理数的线性规划。如：
max z 7x 12 y
9x 4y 300
4x 5y 200
s.t
3x 10y 300
x , y 0
对于这类线性规划问题，数学理论已经较为完善，可以有多种方法求解此类问题。
但写这篇文章的目的并不是为了介绍数学理论，我们这里主要讲解如果利用工具
求解这一类线性规划问题。
最著名，同时也是最强大的数学最优化软件是LINGO/LINDO 软件包，它能
够求解多种的数学规划问题，同时还提供了多种的分析能力。但LINGO 软件并
不容易上手，同时，应用LINGO 的场合一般是大规模的线性规划问题，小小的
线性规划完全可以不使用它。一个更受科研人员欢迎的数学软件是 MATLAB ，
它以功能强大而称著，并有数学软件中的“航空母舰”之称。我们这里就是要学
习使用MATLAB 软件求解线性规划 (含整数规划和0-1 规划)问题。
为了使得不熟悉MATLAB 的人员也能够使用MATLAB 进行线性规划问题
求解，本文将对MATALB 中使用到的函数和过程以及结果进行详细的分析，最
后会对每一个问题都给出一个可以完全“套用”的MATLAB 程序。
我们首先从上面的线性规划问题开始，为了便于表达，将上面的式子写成矩
阵形式：
max z 7x 12y
9 4 300
x
4 5 200
s.t y
3 10 300
x , y 0
于是约束就表达为了一个Ax b 不等式。
求解MATLAB 线性规划时，最常用的函数是linprog 函数，下面来介绍一下这个
函数的使用。
打开MATLAB 帮助文档 (PS:帮助文档的内容是最全的，只要你的英文过了专业8
级)，可以看到linprog 函数求解的是具有如下标准形式的线性规划：
min f Tx
x
A X b
s.t Aeq X beq
lb x ub
公式中各符号的意义是自明的，在这里简单介绍下，首先MATLAB 中求解的
是目标函数是最小值的问题，但如果我们的目标函数是求最大值，可以通过对目
标函数中每一项中乘以-1，将求最大值问题转化为求最小值问题；A，b 分别为
不等式约束中的系数矩阵。Aeq 和beq 分别为等式约束中的系数矩阵，lb，和ub
分别为每个变量的上下区间；最后f 为目标函数中各变量的系数矩阵。
现在，是时候动动手，使用MATLAB 编写代码求解这个线性规划了。MATLAB
代码如下所示：
f=[-7,-12];
A=[9 4;4 5;3 10];
b=[300;200;300];
lb=zeros(2,1);% 生成一个2行1列的全1矩阵
[x,fval]=linprog(f,A,b,[],[],lb,[])
我们来解释下linprog 函数中每参数的意义，linprog 中的一个原型如下：
[x,fval,exitflag] = linprog(f,A,b,Aeq,beq,lb,ub)
这7 个参数的意义和上面f、A、b 的意义是一样的。f 为目标函数的系数矩阵，
A 为线性规划不等式约束的变量系数矩阵，b 为不等式约束的资源数(如上面的
[300;200;300])，这是一个N 行1 列的矩阵，N 为变量的个数。Aeq 和beq 是相
应等式约束的变量系数矩阵和资源数(很明显，上面的例子中并没有等式约束)。
lb 和ub 分别为保变量的上下区间。在上面的例子中，x 和y 和最小值都为0 但
都无最大值约束。而