正交多项式族（勒让德多项式跟切比雪夫多项式）理论

简述

这里显示两种，分别是，勒让德多项式跟切比雪夫多项式

勒让德多项式

区间是 $x\in [-1,1]$，权函数为$\rho (x)\equiv 1$
$$P_0(x)=1$$
$$P_n(x)=\frac{1}{2^{n}n!}\frac{d^n}{d{x}^n}(x^2-1{)}^n$$

得到勒让德多项式的首项为$\frac{(2n)!}{2^n(n!{)}^2}$

所以首项系数为1的勒让德多项式，就是
$$P_n^{\ast }(x)=\frac{P_n(x)}{\frac{(2n)!}{2^n(n!{)}^2}}$$

即，
$$P_n^{\ast }(x)=\frac{n!}{(2n)!}\frac{d^n}{d{x}^n}(x^2-1{)}^n$$

正交性：
$${\int }_{-1}^1{P}_n(x)P_m(x)dx$$
上式，当且仅当n=m时，非0，且值为$\frac{2}{2n+1}$

奇偶性：
$$P_n(-x)=(-1{)}^n{P}_n(x)$$

递推性：

$$(n+1)P_{n+1}(x)=(2n+1)x{P}_n(x)-n{P}_{n-1}(x)$$

在区间上有n个零点

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切比雪夫多项式

区间是 $x\in [-1,1]$，权函数为$\rho (x)=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$
$$T_n(x)=\cos (n\arccos (x))$$

递推性：
$$T_{n+1}(x)=2x{T}_n(x)-T_{n-1}(x)$$

正交性：
当n = m时有两种情况，

• n = m != 0: $\frac{\pi }{2}$
• n = m = 0 $\pi$

T_n(x) n为偶数，则只含有x的偶数幂；n为奇数的时候，就只含有x的奇数幂

零点问题：
同样，包含有n个零点，但是有公式可以直接获得答案
$$x_k=cos\frac{2k-1}{2n}\pi$$
$$k=1，2，3，...,n$$

首项问题：
$P_n(x)$首项系数为 $2^{n-1}$