第十一课：数学基础（快速幂、逆元、扩展欧几里得算法、中国剩余定理）
目录
〇、欧拉定理
一、快速幂
（1）定义及求法
（2）快速幂求逆元
二、扩展欧几里得算法
（1）推导和实现
（2）线性同余方程
三、中国剩余定理
（1）定理阐述
（2）样题：
〇、欧拉定理
若a与N互质，则a的phi（N）次方模N同余1。
若N是一个质数，则phi（N）=N-1：（费马小定理）
一、快速幂
（1）定义及求法
用途：快速求出a的k次方模p的值。
方式：1.预处理出a的2的x次方模p的值 的序列。其中x最大到log（k）。
则:
此时，发现k用二进制表示出来则可相应求得x的所有值。因此可以替换：
至于预处理这个序列，发现a的2的0次方a，a的2的一次方为a的平方。实际上后一项就是前一项的平方。因此预处理也比较方便。
eg：
快速幂的实际代码实现起来，融合了预处理与计算，需要牢记：
//这里填你的代码^^
#include
#include
using namespace std;
typedef long long LL;
LL qmi(int a,int b,int p)
{
//考虑b的二进制形式
LL res=1;
while(b)
{
if(b&1) res=res*a%p;//如果b该位有1
b>>=1;//去除一位
a=a*(LL)a%p;//a平方
}
return res;
}
int main()
{
int n;
cin>>n;
while(n--)
{
int a,b,p;
cin>>a>>b>>p;
cout< （2）快速幂求逆元
推导：
由费马小定理：
因此，x的一个可能解为：
b^p-2
求逆元，即用快速幂求出b的m-2次方模m的值。
代码：这里保证p是质数，因此可以用上述方法求解。如果不是质数，考虑扩展欧几里得算法。
//这里填你的代码^^
#include
#include
using namespace std;
typedef long long LL;
LL qmi(int a,int b,int p)
{
//考虑b的二进制形式
LL res=1;
while(b)
{
if(b&1) res=res*a%p;//如果b该位有1
b>>=1;//去除一位
a=a*(LL)a%p;//a平方
}
return res;
}
int main()
{
int n;
cin>>n;
while(n--)
{
int a,p;
cin>>a>>p;
int res=qmi(a,p-2,p);
if(a%p) cout< 二、扩展欧几里得算法
（1）推导和实现
扩展欧几里得算法：给定任意一对正整数a，b，求得一对整数x，y使得ax+by=gcd（a，b）。
推导：
回顾欧几里得算法，求最大公约数的边界时（即递归边界）：
此时，对于（a‘，0），x，y的一组解为
考虑完了边界条件，在考虑一步步返回x，y的方式。对于（b，a mod b）的y，x，与（a，b）的x，y
从此可以看出，在一步步返回时，x不需要变动，而y需要按下式变化
拓展：实际上，x，y的解的结构为：
代码如下：
//这里填你的代码^^
#include
using namespace std;
int egcd(int a,int b,int& x,int& y)
{
if(!b)
{
x=1;
y=0;
return a;//如果b是0，a就是最大公约数，显然x=1，y=0是一组解
}
int d=egcd(b,a%b,y,x);//注意交换了y，x位置
//此时yb+x(a%b)=d。。所以对于a，b。(y-a/b*x)b+ax=d;对于a，b来说需要变换一下y
y -= a/b*x;
return d;
}
int main()
{
int n;
cin>>n;
while(n--)
{
int a,b,x,y;
cin>>a>>b;
egcd(a,b,x,y);
cout< （2）线性同余方程
给定a，b，m求出一个x，使得
。这样的方程称为线性同余方程。
解法推导：
由扩展欧几里得算法，我们可以求得k1，k2，使得：
因此，由裴蜀定理知，b一定是gcd（a，m）的倍数，若不是则方程无解。
若有解，易知：
代码：
//这里填你的代码^^
#include
using namespace std;
typedef long long LL;
int egcd(int a,int b,int& x,int& y)
{
if(!b)
{
x=1,y=0;
return a;
}
int d=egcd(b,a%b,y,x);
y-=a/b*x;
return d;
}
int main()
{
int n;
cin>>n;
while(n--)
{
int a,b,m;
cin>>a>>b>>m;
int x,y;
int d=egcd(a,m,x,y);
if(b%d) puts("impossible");
else cout<<(LL)x*b/d%m< 三、中国剩余定理
（1）定理阐述
中国剩余定理给定了以下的一元线性同余方程组：
中国剩余定理说明：假设整数m1,m2, ... ,mn两两互质，则对任意的整数：a1,a2, ... ,an，方程组
有解，且通解可以用如下方式构造得到：
设
，并设
。设
，为
模
的逆元。
则方程组通解为：
在模M的意义下，方程只有一个解：
原理简述：m之间两两互质，因此模mi时，下标同的mj mod mi ==0，而mi*mi的逆元模mi为1。
（2）样题：
解题推导：
首先选出方程组中两个方程：
则：
可以利用扩展欧几里得算法求得该式中的一组k1，k2。根据线性同余方程组解的结构，k1和k2的通解为：
可看成：
这样就将两个方程合并为了一个方程，如此把所有方程合并起来，求得最后方程形式为：
此时令k合理取值，使得x为方程能够达到的最小正整数即位题目所求。
细节注意：
1.用扩展欧几里得算法求解时，注意k1要扩大一个相应的倍数，有可能无解。
2.过程中需要不断累积的k1可能爆int，即需要
方程需要控制k1为最小正整数解。
代码如下：
//这里填你的代码^^
#include
#include
using namespace std;
typedef long long LL;
LL egcd(LL a,LL b,LL &x,LL &y)
{
if(!b)
{
x=1,y=0;
return a;
}
int d=egcd(b,a%b,y,x);
y-=a/b*x;
return d;
}
int main()
{
int n;
cin>>n;
LL a1,m1;
cin>>a1>>m1;
bool has_ans=true;
for(int i=0;i>a2>>m2;
LL k1,k2;
LL d=egcd(a1,a2,k1,k2);
if((m2-m1)%d)
{
has_ans=false;
break;
}
k1 *=(m2-m1)/d;//扩大倍数
LL t=a2/d;
k1=(k1%t+t)%t;//保留方程最小正整数解
m1=a1*k1+m1;//合并方程
a1=abs(a1/d*a2);
}
if(has_ans)
{
cout<<(m1%a1+a1)%a1;//保留方程最小正整数解
}
else cout<<"-1";
return 0;
}
//注意代码要放在两组三个点之间，才可以正确显示代码高亮哦~
作者：yankai
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