第十一课:数学基础(快速幂、逆元、扩展欧几里得算法、中国剩余定理)

 

目录

〇、欧拉定理

 一、快速幂

(1)定义及求法

(2)快速幂求逆元

二、扩展欧几里得算法

(1)推导和实现

(2)线性同余方程

三、中国剩余定理

(1)定理阐述

(2)样题:


 

〇、欧拉定理

        若a与N互质,则a的phi(N)次方模N同余1。

第十一课:数学基础(快速幂、逆元、扩展欧几里得算法、中国剩余定理)_第1张图片

 若N是一个质数,则phi(N)=N-1:(费马小定理)

第十一课:数学基础(快速幂、逆元、扩展欧几里得算法、中国剩余定理)_第2张图片

 一、快速幂

(1)定义及求法

用途:快速求出a的k次方模p的值。

方式:1.预处理出a的2的x次方模p的值 的序列。其中x最大到log(k)。

则:

gif.latex?a%5E%7Bk%7D%3Da%5E%7B2%5E%7Bx_%7B1%7D%7D%7D*a%5E%7B2%5E%7Bx_%7B%7D%7D%7D...*a%5E%7B2%5E%7Bx_%7Bn%7D%7D%7D

gif.latex?k%3D2%5E%7Bx_%7B1%7D%7D+2%5E%7Bx_%7B2%7D%7D+...+2%5E%7Bx_%7Bn%7D%7D

此时,发现k用二进制表示出来则可相应求得x的所有值。因此可以替换:

gif.latex?a%5E%7Bk%7Dmod%28p%29%3Da%5E%7B2%5E%7Bx_%7B1%7D%7D%7D*a%5E%7B2%5E%7Bx_%7B%7D%7D%7D...*a%5E%7B2%5E%7Bx_%7Bn%7D%7D%7D%20mod%28p%29

至于预处理这个序列,发现a的2的0次方a,a的2的一次方为a的平方。实际上后一项就是前一项的平方。因此预处理也比较方便。

eg:

第十一课:数学基础(快速幂、逆元、扩展欧几里得算法、中国剩余定理)_第3张图片

 快速幂的实际代码实现起来,融合了预处理与计算,需要牢记:

//这里填你的代码^^
#include
#include
using namespace std;

typedef long long LL;


LL qmi(int a,int b,int p)
{
    //考虑b的二进制形式
    LL res=1;
    while(b)
    {
        if(b&1) res=res*a%p;//如果b该位有1
        b>>=1;//去除一位
        a=a*(LL)a%p;//a平方
    }
    return res;
}


int main()
{
    int n;
    cin>>n;
    while(n--)
    {
        int a,b,p;
        cin>>a>>b>>p;
        cout<

(2)快速幂求逆元

第十一课:数学基础(快速幂、逆元、扩展欧几里得算法、中国剩余定理)_第4张图片

 推导:

gif.latex?%5Cfrac%7Ba%7D%7Bb%7D%3Da*x%5C%20%28mod%5C%20m%29

gif.latex?%5Cfrac%7Ba%7D%7Bb%7D%3Da*b%5E%7B-1%7D%5C%20%28mod%5C%20m%29

gif.latex?b*b%5E%7B-1%7D%3D1%5C%20%28mod%5C%20m%29

gif.latex?bx%3D1%5C%20%28mod%5C%20m%29

由费马小定理:

gif.latex?b%5E%7Bp-1%7D%3D1%5C%20%28mod%5C%20p%29

gif.latex?b*b%5E%7Bp-2%7D%3D1%5C%20%28mod%5C%20p%29

因此,x的一个可能解为:

b^p-2

 求逆元,即用快速幂求出b的m-2次方模m的值。

代码:这里保证p是质数,因此可以用上述方法求解。如果不是质数,考虑扩展欧几里得算法。

//这里填你的代码^^
#include
#include
using namespace std;

typedef long long LL;


LL qmi(int a,int b,int p)
{
    //考虑b的二进制形式
    LL res=1;
    while(b)
    {
        if(b&1) res=res*a%p;//如果b该位有1
        b>>=1;//去除一位
        a=a*(LL)a%p;//a平方
    }
    return res;
}


int main()
{
    int n;
    cin>>n;
    while(n--)
    {
        int a,p;
        cin>>a>>p;
        int res=qmi(a,p-2,p); 
        if(a%p) cout<

二、扩展欧几里得算法

(1)推导和实现

第十一课:数学基础(快速幂、逆元、扩展欧几里得算法、中国剩余定理)_第5张图片

扩展欧几里得算法:给定任意一对正整数a,b,求得一对整数x,y使得ax+by=gcd(a,b)。

推导:

 回顾欧几里得算法,求最大公约数的边界时(即递归边界):

gif.latex?%28a%2Cb%29%3D%28b%2Ca%5C%20mod%5C%20b%29%3D.....%3D%28a%5E%7B%27%7D%2C0%29

此时,对于(a‘,0),x,y的一组解为

gif.latex?x%3D1%2Cy%3D0

考虑完了边界条件,在考虑一步步返回x,y的方式。对于(b,a mod b)的y,x,与(a,b)的x,y

gif.latex?y*b+%28a%5C%20mod%5C%20b%29*x%3Dd

gif.latex?b*y-%28a-%5B%5Cfrac%7Ba%7D%7Bb%7D%5D*b%29*x%3Dd

gif.latex?a*x+%28y-%5B%5Cfrac%7Ba%7D%7Bb%7D%5D*x%29*b

从此可以看出,在一步步返回时,x不需要变动,而y需要按下式变化

gif.latex?y%3Dy%5E%7B%27%7D-%5B%5Cfrac%7Ba%7D%7Bb%7D%5D*x

拓展:实际上,x,y的解的结构为:

第十一课:数学基础(快速幂、逆元、扩展欧几里得算法、中国剩余定理)_第6张图片

 

 代码如下:

//这里填你的代码^^
#include
using namespace std;

int egcd(int a,int b,int& x,int& y)
{
    if(!b)
    {
        x=1;
        y=0;
        return a;//如果b是0,a就是最大公约数,显然x=1,y=0是一组解
    }
    int d=egcd(b,a%b,y,x);//注意交换了y,x位置
    //此时yb+x(a%b)=d。。所以对于a,b。(y-a/b*x)b+ax=d;对于a,b来说需要变换一下y
    y -= a/b*x;
    return d;
}



int main()
{
    int n;
    cin>>n;
    while(n--)
    {
        int a,b,x,y;
        cin>>a>>b;
        egcd(a,b,x,y);
        cout<

(2)线性同余方程

给定a,b,m求出一个x,使得gif.latex?a*x%3Db%5C%20mod%5C%20m。这样的方程称为线性同余方程。

 解法推导:

gif.latex?a*x%3Db%5C%20mod%5C%20m

gif.latex?a*x+m*y%3Db

由扩展欧几里得算法,我们可以求得k1,k2,使得:

gif.latex?a*k_%7B1%7D+m*k_%7B2%7D%3Dgcd%28a%2Cm%29

因此,由裴蜀定理知,b一定是gcd(a,m)的倍数,若不是则方程无解。

若有解,易知:

gif.latex?x%3Dk_%7B1%7D*%5Cfrac%7Bb%7D%7Bgcd%28a%2Cm%29%7D

代码:

//这里填你的代码^^
#include
using namespace std;
typedef long long LL;

int egcd(int a,int b,int& x,int& y)
{
    if(!b)
    {
        x=1,y=0;
        return a;
    }
    int d=egcd(b,a%b,y,x);
    y-=a/b*x;
    return d;

}


int main()
{
    int n;
    cin>>n;
    while(n--)
    {
        int a,b,m;
        cin>>a>>b>>m;
        int x,y;
        int d=egcd(a,m,x,y);
        if(b%d) puts("impossible");
        else cout<<(LL)x*b/d%m<

三、中国剩余定理

(1)定理阐述

中国剩余定理给定了以下的一元线性同余方程组:

gif.latex?%28S%29%3A%5Cleft%5C%7B%5Cbegin%7Bmatrix%7D%20%26%20x%5Cequiv%20a_%7B1%7D%5C%20%28mod%5C%20m_%7B1%7D%29%5C%5C%20%26%20x%5Cequiv%20a_%7B2%7D%5C%20%28mod%5C%20m_%7B2%7D%29%5C%5C%20%26%20x%5Cequiv%20a_%7B3%7D%5C%20%28mod%5C%20m_%7B3%7D%29%5C%5C%20%26.............................%20%5C%5C%20%26%20x%5Cequiv%20a_%7Bn%7D%5C%20%28mod%5C%20m_%7Bn%7D%29%20%5Cend%7Bmatrix%7D%5Cright.

中国剩余定理说明:假设整数m1,m2, ... ,mn两两互质,则对任意的整数:a1,a2, ... ,an,方程组gif.latex?%28S%29有解,且通解可以用如下方式构造得到:

gif.latex?M%3D%5Cprod_%7Bi%3D1%7D%5E%7Bn%7Dm_%7Bi%7D,并设gif.latex?M_%7Bi%7D%3D%5Cfrac%7BM%7D%7Bm_%7Bi%7D%7D%2C%5C%20%5Cforall%20i%5Cin%20%5Cbegin%7BBmatrix%7D1%2C2%2C3...n%20%5Cend%7BBmatrix%7D。设gif.latex?t_%7Bi%7D%3DM%5E%7B-1%7D_%7Bi%7D,为gif.latex?M_%7Bi%7Dgif.latex?m_%7Bi%7D的逆元。

则方程组通解为:

gif.latex?x%3D%5Csum_%7Bi%3D1%7D%5E%7Bn%7Da_%7Bi%7Dt_%7Bi%7DM_%7Bi%7D+kM%2C%5C%20k%5Cin%20Z

 

 在模M的意义下,方程只有一个解:

gif.latex?x%3D%5Csum_%7Bi%3D1%7D%5E%7Bn%7Da_%7Bi%7Dt_%7Bi%7DM_%7Bi%7D

原理简述:m之间两两互质,因此模mi时,下标同的mj mod mi ==0,而mi*mi的逆元模mi为1。

(2)样题:

49df58f1d3094f9ca71f9a541fe2a432.png

 解题推导:

首先选出方程组中两个方程:

gif.latex?%5Cleft%5C%7B%5Cbegin%7Bmatrix%7D%20x%5C%20mod%20%5C%20a_%7B1%7D%5Cequiv%20m_%7B1%7D%5C%5C%20x%5C%20mod%20%5C%20a_%7B2%7D%5Cequiv%20m_%7B2%7D%20%5Cend%7Bmatrix%7D%5Cright.

则:

gif.latex?%5Cleft%5C%7B%5Cbegin%7Bmatrix%7Dx%3Dk_%7B1%7Da_%7B1%7D+m_%7B1%7D%5C%5C%20x%3Dk_%7B2%7Da_%7B2%7D+m_%7B2%7D%5Cend%7Bmatrix%7D%5Cright.

gif.latex?k_%7B1%7Da_%7B1%7D+m_%7B1%7D%3Dk_%7B2%7Da_%7B2%7D+m_%7B2%7D

gif.latex?k_%7B1%7Da_%7B1%7D+k_%7B2%7Da_%7B2%7D%3Dm_%7B2%7D-m_%7B1%7D

可以利用扩展欧几里得算法求得该式中的一组k1,k2。根据线性同余方程组解的结构,k1和k2的通解为:

gif.latex?%5Cleft%5C%7B%5Cbegin%7Bmatrix%7D%20K_%7B1%7D%3Dk_%7B1%7D+k*%5Cfrac%7Ba_%7B2%7D%7D%7Bd%7D%5C%5C%20K_%7B2%7D%3Dk_%7B2%7D+k*%5Cfrac%7Ba_%7B1%7D%7D%7Bd%7D%20%5Cend%7Bmatrix%7D%5Cright.%5C%20%5C%20%5C%20%5C%20%5C%20%5C%20%5C%20%5C%20k%5Cin%20Z

gif.latex?%5Ctherefore%20x%3Dk_%7B1%7Da_%7B1%7D+m_%7B1%7D%3D%28k_%7B1%7D+k%5Cfrac%7Ba_%7B2%7D%7D%7Bd%7D%29a_%7B1%7D+m_%7B1%7D

gif.latex?x%3Da_%7B1%7Dk_%7B1%7D+m_%7B1%7D+k%5Cfrac%7Ba_%7B1%7Da_%7B2%7D%7D%7Bd%7D%3Da_%7B1%7Dk_%7B1%7D+m_%7B1%7D+k%5Ba_%7B1%7Da_%7B2%7D%5D

可看成:

gif.latex?x%3D%28a_%7B1%7Dk_%7B1%7D+m_%7B1%7D%29+k%5Ba_%7B1%7Da_%7B2%7D%5D%3Dka+m_%7B0%7D

这样就将两个方程合并为了一个方程,如此把所有方程合并起来,求得最后方程形式为:

gif.latex?x%3Dka+m%20%5C%20%5C%20%5C%20k%5Cin%20Z

此时令k合理取值,使得x为方程能够达到的最小正整数即位题目所求。

细节注意:

1.用扩展欧几里得算法求解时,注意k1要扩大一个相应的倍数,有可能无解。

2.过程中需要不断累积的k1可能爆int,即需要gif.latex?k_%7B1%7D+k%5Cfrac%7Ba_%7B2%7D%7D%7Bd%7D方程需要控制k1为最小正整数解。

代码如下:

//这里填你的代码^^
#include
#include
using namespace std;
typedef long long LL;


LL egcd(LL a,LL b,LL &x,LL &y)
{
    if(!b)
    {
        x=1,y=0;
        return a;
    }
    int d=egcd(b,a%b,y,x);
    y-=a/b*x;
    return d;
}


int main()
{
    int n;
    cin>>n;
    LL a1,m1;
    cin>>a1>>m1;
    bool has_ans=true;

    for(int i=0;i>a2>>m2;
        LL k1,k2;
        LL d=egcd(a1,a2,k1,k2);
        if((m2-m1)%d) 
        {
            has_ans=false;
            break;
        }
        k1 *=(m2-m1)/d;//扩大倍数

        LL t=a2/d;
        k1=(k1%t+t)%t;//保留方程最小正整数解

        m1=a1*k1+m1;//合并方程
        a1=abs(a1/d*a2);

    }

    if(has_ans)
    {
        cout<<(m1%a1+a1)%a1;//保留方程最小正整数解
    }
    else cout<<"-1";
    return 0;
}
//注意代码要放在两组三个点之间,才可以正确显示代码高亮哦~

作者:yankai
链接:https://www.acwing.com/activity/content/code/content/3763166/
来源:AcWing
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