脉冲神经网络（SNN）论文阅读（三）-----高精度低时延的ANN转换SNN方法

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目录

说明

准备将自己读的一些和SNN（脉冲神经网络）相关的一些论文记录下来，方便自己以后回看也希望能够帮到有需要的人。
删除了文中一些自认为不重要的内容而用自己的话进行简洁描述（很少，比如引言的一些内容），其他部分尽量使用专业用语进行翻译，如果有什么出错或不恰当的地方希望各位批评指出。

相关信息

论文地址: Optimal ANN-SNN Conversion for High-accuracy and Ultra-low-latency Spiking Neural Networks
论文由北京大学（于肇飞组）研究人员发表于ICLR 2022，代码发布于here

主要贡献

论文首先分析了ANN转SNN过程中的一些转换误差，然后提出了quantization clip-floor-shift activation function去替换ANN中的ReLU激活函数，这样转换后的SNN能够在较低的time step内达到较高的精度。

ANN转SNN相关公式以及动机

• 符号定义：首先，定义${\mathbf{a}}^{\mathbf{l}}$表示ANN中第$l$层中所有神经元的输出，令$m^l(t)$表示在t时刻($timestep=t$时)脉冲神经元接收到前一层的输入后但并未发放脉冲前的膜电势，令$v^l(t)$表示在t时刻($timestep=t$时)脉冲神经元接收到前一层的输入并发放脉冲后的膜电势。
• 令${\theta }^l$表示脉冲神经元的放电阈值，${\mathbf{s}}^l(t)$表示在时刻$t$第$l$层中所有脉冲神经元发放的脉冲，假设神经元放电后传出的脉冲大小等于阈值${\theta }^l$，令$x^l(t)=s^l(t){\theta }^l$表示第$l$层的神经元向下一层传递的脉冲信息,${\mathbf{W}}^l$表示第$l$层神经元和第$l-1$层神经元之间的权值。
• ANN转SNN：在ANN中有
  $${\mathbf{a}}^{\mathbf{l}}=h({\mathbf{W}}^l{\mathbf{a}}^{l-1})\text{\hspace{1em}(1)}$$
  ，其中$h(.)$表示ReLU激活函数。在SNN中有
  $${\mathbf{v}}^l(t)-{\mathbf{v}}^l(t-1)={\mathbf{W}}^l{\mathbf{x}}^{l-1}(t)-{\mathbf{s}}^l(t){\theta }^l\text{\hspace{1em}(2)}$$
  通过将等式2从time step1累加到T，可以得到：
  $$\frac{{\mathbf{v}}^l(t)-{\mathbf{v}}^l(0)}{T}=\frac{{\mathbf{W}}^l{\sum }_{i=1}^T{\mathbf{x}}^{l-1}(i)}{T}-\frac{{\sum }_{i=1}^T{\mathbf{s}}^l(i){\theta }^l}{T}\text{\hspace{1em}(3)}$$
  使用${\varphi }^{l-1}(T)=\frac{{\sum }_{i=1}^T{\mathbf{x}}^{l-1}(i)}{T}$表示从时刻0到T内的平均突触后电势，可以得到：
  $${\varphi }^l(T)={\mathbf{W}}^l{\varphi }^{l-1}(T)-\frac{{\mathbf{v}}^l(t)-{\mathbf{v}}^l(0)}{T}\text{\hspace{1em}(4)}$$
  等式4描述了相邻层之间脉冲神经元的平均突触后电势（$\varphi$）的关系。由于$\varphi (T)\ge 0$，如果让初始膜电势${\mathbf{v}}^l(0)=0$并且忽略掉$\frac{{\mathbf{v}}^l(T)}{T}$，当令T（time step）足够大时等式4就几乎等同于等式1，即此时的SNN公式和ANN公式相等。然而太大的time step会导致很高的推理时间，从而影响SNN的实际应用，因此本文旨在在极低的延迟(time step)下实现高性能的ANN转换SNN。

转换误差分析

本部分详细分析ANN转换SNN中每一层存在的一些误差，此时假设ANN和SNN从前一层接收到的输入相等，即假设${\mathbf{a}}^{l-1}={\mathbf{\varphi }}^{l-1}$，然后开始分析第$l$层存在的误差。

• 为了简化后续公式，使用${\mathbf{z}}^l={\mathbf{W}}^l{\mathbf{\varphi }}^{l-1}(T)={\mathbf{W}}^l{\mathbf{a}}^{l-1}$表示第$l-1$层传递至$l$层的输入（ANN和SNN均如此）。
• 绝对转换误差 = 转换后的SNN的输出减去原始ANN的输出：
  $${\mathbf{E}\mathbf{r}\mathbf{r}}^l={\mathbf{\varphi }}^l(T)-{\mathbf{a}}^l={\mathbf{z}}^l-\frac{{\mathbf{v}}^l(t)-{\mathbf{v}}^l(0)}{T}-h({\mathbf{z}}^l)\text{\hspace{1em}(5)}$$
  从等式5中可以看到如果${\mathbf{z}}^l>0$且${\mathbf{v}}^l(t)-{\mathbf{v}}^l(0)\ne 0$则转化误差就不为0。事实上，转换误差由以下三个因素造成：

1. Clipping error：
   由于脉冲神经元的阈值为${\theta }^l$，所以SNN的输出${\varphi }^l(T)=\frac{{\sum }_{i=1}^T{\mathbf{x}}^l(i)}{T}=\frac{{\sum }_{i=1}^T{\mathbf{s}}^l(i)}{T}{\theta }^l\in [0,{\theta }^l]$，但是ANN的输出${\mathbf{a}}^l\in [0,{\mathbf{a}}_{max}^l]$，其中${\mathbf{a}}_{max}^l$表示${\mathbf{a}}^l$的最大值。如图1a所示，${\mathbf{a}}^l$可以通过下式映射到${\varphi }^l(T)$：
   $${\varphi }^l(T)=clip(\frac{{\theta }^l}{T}\lfloor \frac{a^{l}T}{{\lambda }^l}\rfloor ,0,{\theta }^l).\text{\hspace{1em}(6)}$$
   这里的$clip(x,a,b)$函数表示当$x<a$时结果为a，$x>b$时结果为b,$x\in [a,b]$时结果为x，$\lfloor .\rfloor$表示向下取整，${\lambda }^l$表示将$a^l$映射为${\theta }^l$的$a^l$的值。在ANN中的位于${\lambda }^l$和$a_{max}^l$之间的激活值都被映射为SNN中的${\lambda }^l$，这样造成的转换误差称为clipping error。
   
2. Quantization error（flooring error）：
   输出脉冲$s^l(t)$是离散事件，因此${\varphi }^l(T)$在经过$\frac{{\theta }^l}{T}$量化后也是离散的，当把$a^l$映射为${\varphi }^l(T)$时，不可避免地存在着一些量化误差。例如图1a中所示，ANN中位于$[\frac{{\lambda }^l}{T},\frac{2{\lambda }^l}{T}]$之间的激活值在SNN中都被映射为$\frac{{\theta }^l}{T}$。
3. Unevenness error：
   不均匀误差是由于输入脉冲的不均匀造成的。同样的脉冲数量，如果脉冲到达的时间不一样，产生的输出也不一样，可能会产生比预期更多或更少的输出。
   举个例子：
   假设在源ANN中第$l-1$层中的两个神经元和第$l$层一个神经元的连接权值分别是2和-2，第$l-1$层两个神经元的输出是[0.6, 0.4]。在转换后的SNN中假设$l-1$层的两个脉冲神经元在5个time step内(time step=5)分别发放3个脉冲和2个脉冲，令阈值${\theta }^l=1$。因此有${\varphi }^{l-1}(T)=[0.6,0.4]$。即使${\varphi }^{l-1}(T)=a^{l-1}$且ANN和SNN中的权值相等${\varphi }^l(T)$也会随着脉冲到达的时间不同而变化。ANN中的$a^l=[2,-1][0.6,0.4{]}^T=0.4$，对于SNN有如图1b-d所示的三种情况。
   如果两个权值为2和-2的神经元发放脉冲时间分别为$t=1,3,5$和$t=2,4$，突触后神经元将会在$t=1,3$时刻发放脉冲，且${\varphi }^l(T)=0.4=a^l$。然而如果两个神经元发放脉冲时间分别为$t=1,2,3$和$t=4,5$，突触后神经元将会在$t=1,2,3,4$时刻发放四个脉冲且${\varphi }^l(T)=0.8>a^l$;如果两个神经元发放脉冲时间分别为$t=3,4,5$和$t=1,2$，突触后神经元将只会在$t=5$时刻发放一个脉冲且${\varphi }^l(T)=0.2<a^l$。

上述三种误差中存在一些相互依赖关系，特别是如果$v^l(T)\in [0,{\theta }^l]$，不均匀误差会退化为量化误差，因此假设$v^l(T)\in [0,{\theta }^l]$时可以忽略掉不均匀误差的影响从而估计SNN的激活函数。在转换后的SNN中估计输出值${\varphi }^l(T)$可以使用$clip(.)$和$floor(.)$函数来表示：
$${\varphi }^l(T)\approx {\theta }^{l}clip(\frac{1}{T}\lfloor \frac{z^{l}T+v^l(0)}{{\theta }^l}\rfloor ,0,1).\text{\hspace{1em}(7)}$$
详细推导过程在论文的附录中，感兴趣的朋友可以去查看原始论文。
根据等式7，estimated conversion error ${Err}^l$可以由下式得出：
$${Err}^l={\theta }^{l}clip(\frac{1}{T}\lfloor \frac{z^{l}T+v^l(0)}{{\theta }^l}\rfloor ,0,1)-h(z^l)\approx Er{r}^l.\text{\hspace{1em}(8)}$$

优化的ANN转换SNN

quantization clip-floor activation function

由等式8可以得出，如果将ANN中的ReLU函数替换为带有一定量化步长L的clip-floor函数是不是能够消除掉在time step T=L时刻的转换误差呢？从而能够解决掉低时延的性能退化问题。
由上述思路，论文作者提出了quantization clip-floor activation function去训练ANN：
$$a^l=h(z^l)={\lambda }^{l}clip(\frac{1}{L}\lfloor \frac{z^{l}L}{{\lambda }^l}\rfloor ,0,1)\text{\hspace{1em}(9)}$$
其中的超参数$L$表示ANN中的量化步长（quantization step），而${\lambda }^l$是可训练的参数，决定着将ANN中$a^l$映射到SNN中${\varphi }^l(T)$的最大值对应的最大值（比较绕，其实说白了就是$f({\lambda }^l)={\varphi }^l(T{)}_{max}$）。使用这样一个新的激活函数，满足以下几个条件时ANN和转换后的SNN之间的转换误差为0：

• 条件：量化步长L=time step T；${\theta }^l={\lambda }^l$；$v^l(0)=0$
• 缺陷：在$L\ne T$时误差不一定为0。

进一步改进的quantization clip-floor-shift activation function

基于以上缺陷，论文作者又提出了进一步改进的quantization clip-floor-shift activation function：
$$a^l=\hat{h}(z^l)={\lambda }^{l}clip(\frac{1}{L}\lfloor \frac{z^{l}L}{{\lambda }^l}+\phi \rfloor ,0,1).\text{\hspace{1em}(10)}$$
和式9相比，式10多了一个超参数向量$\phi$来控制激活函数的偏移（shift）。当$L\ne T$时虽然不能保证转换误差为0，但是可以估计转换误差的期望值。相似于Deng & Gu, 2020¹，这里同样假设$z_i^l$服从一定的均匀分布，当满足以下条件时，可以证明当源ANN中的$\phi =\frac{1}{2}$时对于任意的T和L，转换误差的期望值接近于0。

• 条件：${\theta }^l={\lambda }^l$；$v^l(0)={\theta }^l\phi$。
  证明过程在论文附录中给出，感兴趣的朋友可以去查看原始论文。
  结果表示当$\phi =\frac{1}{2}$时即使$L\ne T$平均转换误差也接近于0，从而能够在极低的time step内实现高性能的转换后的SNN。

用于带有quantization clip-floor-shift activation function的训练算法

训练带有quantization clip-floor-shift activation function的ANN也是一个问题。在训练时，论文作者采用straight-through estimatorBengio et al., 2013²作为floor函数的导数，即令$\frac{d\lfloor x\rfloor }{dx}=1$。整体的导数规则如下式17所示：
其中的$z_i^l$表示$z^l$的第$i$个元素。在训练ANN中使用该梯度结合随机梯度下降算法优化即可。

实验部分

作者使用VGG-16、ResNet-18、ResNet-20等网络结构在CIFAR-10、CIFAR-100和ImageNet数据集上做了实验证明了该方法的优越性。另外表示随着L的增加，转换后的SNN在time step较小时的精度也会随之下降，即L过大过小都不行，推荐的L为4或8.

部分参考文献

本文由CSDN-lan人啊原创，转载请注明！

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1. Shikuang Deng and Shi Gu. Optimal conversion of conventional artificial neural networks to spiking neural networks. In International Conference on Learning Representations, 2020. ↩︎

2. Yoshua Bengio, Nicholas L´eonard, and Aaron Courville. Estimating or propagating gradients through stochastic neurons for conditional computation. arXiv preprint arXiv:1308.3432, 2013. ↩︎