机器人动力学与控制学习笔记（二）————机器人动力学建模

 

二、工业机器人动力学

        机器人动力学描述的是关节力矩、动力学参数及关节运动的关系，用于机器人动力学建模的方法很多，如牛顿-欧拉方法、拉格朗日方法、凯恩方法、算子代数方法等。对于同一个机器人，无论采用何种建模方法，最终得到的动力学模型都是等价的，可以表示为：

                                                                              （2-1）

        其中为惯性项，为科氏力及离心力项，为重力项，每一项都是机器人惯性参数与关节运动参数的函数。机器人的10个惯性参数可表示为向量的形式：，其中，参数为机器人惯量矩阵中的6个参数，为的3个分量（为质心向量）。上述9个量均包含（2-1）在及项内，表示质量，包含在项。

        基于模型的控制方案主要包括计算力矩控制、动力学前馈控制等，要想通过这些控制方法实现对轨迹的完全精确跟踪，控制方法中的动力学模型必须与机器人实际的动态特性相符。而各种典型建模方法所得到的动力学模型（2-1），只是在理想情况下的结果。实际情况中，影响机器人动力学的因素很多，如加工、装配、材料分布不均等引起的偏差；关节弹性引起的变形所带来的运动学参数偏差；关节摩擦引起的摩擦力矩；由传动方案所引起的不同关节间的运动耦合等。这些因素中，很多无法进行精确建模。为了不增加动力学模型的复杂性，理想的动力学建模方法并未完全考虑这些因素的作用，因此所得到的动力学模型（1-2）与实际的机器人动力学特性是有偏差的。动力学模型的偏差映射到控制方案中，就会引起轨迹的跟踪误差。

2.1  动力学参数辨识

        完整的动力学参数辨识主要包括动力学建模、动力学模型的线性化（辨识模型），辨识轨迹优化、辨识算法构造、参数采集与处理、试验验证等几个方面。不同辨识方案在建模、线性化、轨迹优化及试验验证方面没有太大区别，区别主要体现在辨识算法和采集方面。

        就辨识算法而言，目前已有神经网络辨识，遗传算法辨识，最大似然估计辨识，卡尔曼滤波算法辨识，最小二乘法辨识等。

        数据采集的区别主要体现在力矩的采集上，关节运动参数一般都是通过安装在电机上的编码器测得关节转角，再对关节转角进行微分得到角速度、角加速度。而力矩的采集大致分为两类，即力传感器直接测量及通过电机电流间接测量。对于直接测量，需要在几机器人关节安装力传感器，一般选在末端或基座处，一是因为其他关节在装配后没有安装力传感器的空间，另一方面，每个关节都安装测力传感器势必会大大增加辨识成本；间接测量是通过电机电流测测量值简介计算出电机的驱动力矩值，电机电流与驱动力矩满足：

                                                                            

        为关节力矩，为电机转矩常数，电机驱动电流。不同测量方案对可辨识的参数类型及参数辨识过程有影响，而不同辨识算法仅对辨识精度有影响。

2.2  牛顿-欧拉动力学建模

        牛顿-欧拉动力学方法基于两个基本方程，即力平衡方程以及力矩平衡方程，分别为：
                                                                             

                                                                

        表示作用于机械臂质心处的合力，表示机械臂质心的线加速度，表示作用于机械臂质心处的合力矩，表示相对机械臂质心表示的机械臂惯量矩阵，表示机械臂角的加速度，表示机械臂角的角速度。

        牛顿-欧拉动力学建模方法包括两部分，即正向运动学递推及反向动力学递推：

（1）正向运动学递推

        角速度递推：

        角加速度递推：

        线加速度递推：

        质心处线加速度：

        其中，表示第与第坐标系间的姿态转换矩阵，表示第与第坐标原点间的距离向量，表示关节的轴线方向，均为关节变量，分别表示关节的角速度和角加速度，其他各符号含义同前，其中左上标代表参数在哪个坐标系表示，右下标表示参数所隶属的机械臂。
（2）反向运动学递推

        机械臂质心处的合力：

        机械臂关节处的作用力：

        机械臂质心处的合力矩：

        机械臂关节处的合力矩：

        最后，将作用于关节处的合力矩向关节轴线方向投影，得到关节的驱动力矩：

        这样，得到工业机器人的动力学方程，一般可写为标准形式：

        为机器人的驱动力矩向量，满足：

        其中， 表示第关节的驱动力矩。

        称为机械臂的质量矩阵，是一个对称阵：

                                                     
        对角项通过第关节的角加速度产生对第 关节力矩的力矩分量，非对角项通过第关节的角加速度产生对第关节力矩的力矩分量。

        为科氏力及离心力项，满足：

                                                                           

        其中，

                                                                                ，

                                                       

        的后两个下标表示此力矩分量与关节的速度有关，他们的动态力相互作用在关节处产生反作用力（力矩），标号总表示“感受”到速度引起的反作用力（力矩）的关节编号。当时，与关节“感受”到的关节的角速度产生的离心力有关；而当时，与关节“感受”到的关节和的速度产生的科氏力有关。

2.3 牛顿-欧拉动力学编程

    利用Newton-Euler方程建立动力学模型，在Matlab中利用m语言编写程序，完成动力学模型正反解验证。

（1）建立牛顿-欧拉方程逆动力学模型。输入是六个关节的期望角度、速度和加速度，输出是六个关节力矩。

（2）建立凯恩方程正动力学模型。输入是上一级的六个关节的力矩，输出是实际期望角度、速度和加速度。

                                                          图 1 基于牛顿-欧拉方程和凯恩方程建立的机器人动力学模型simulink仿真图

                                                                                            图2 六个关节输出力矩

                                                                        图3 六个关节实际输出角度、速度和加速度