机器人动力学方程的性质

一个 n 连杆的机器人的动力学方程含有很多项,特别是全部是转动关节的机械臂,让人看着害怕。但是,机器人动力学方程含有一些有助于开发控制算法的重要性质,其中最重要的是反对称性、无源性、有界性和参数的线性性。

反对称性(skew aymmetry)和无源性(passivity)

  • 在动力学方程中,矩阵N=D˙2C 是反对称性的,即 nij=nji
    由于存在多个矩阵 C , 这里C存特定值:

    cijk=12(bijqk+bikqjbjkqi)

    j=1ncijq(j)=j=1nk=1ncijkq˙(k)q˙(j)=j=1nk=1n(bijqk12bjkqi)q˙(k)q˙(j)

    由于 D˙(q) 的第 (k,j) 个元素 d˙kj=ni=1dkjqiq˙i

    矩阵 N=D˙2C 的第 (k,j) 个元素可以表示为:

    nkj=d˙kj2ckj=i=1n[dijqkdkiqj]

    可以看出:
    nij=nji

    因此,矩阵 N 是反对称矩阵。对任意向量 ω , 有 ωTN(qq˙)ω=0

    • 无源性
      机器人的总动能: H=12q˙TD(q)q˙+P(q) ,求导,得:
      H˙=q˙TD(q)q¨+12q˙TD˙(q)q˙+q˙TPq

      忽略摩擦和末端受力,带入动力学方程,可得,
      H˙=q˙Tτ+12q˙TN(qq˙)q˙=q˙Tτ

      在公式两边同时对时间积分,得:
      q˙T(t)τ(t)dt=H(T)H(0)H(0)

    惯性矩阵的界限(bounded)

    n 连杆机器人,他的惯性矩阵是正定且对称的,对广义关节变量 q, 令 0<λ1(q)λn(q) 表示 D(q) n 个特征值。
    显然易得:

    λ1(q)InnD(q)λn(q)Inn

    如果所有的关节都是转动关节,那么惯性矩阵都是关于关节变量的正弦和余弦函数,因此对应的广义坐标是有界的。如果惯性矩阵具有一致的界限,可以找到常数 λm λM ,满足:

    λ1(q)InnD(q)λn(q)Inn<

    参数的线性化(linearity-in-the-parameter)

    存在 n 函数 Y(q,q˙,q¨) ,以及 维向量 Θ ,使得欧拉方程可以写成:

    D(q)q¨+C(q,q˙)q˙+g(q)=Y(q,q˙,q¨)Θ

    函数 Y(q,q˙,q¨) 被称为回归方程(regeessor), 向量 Θ 为参数向量。

    对每一个刚体,可以通过 总质量、惯性张量、质心来表示,总十个独立的参数,因此,对于一个 n 连杆机器人来说,最多有10n个参数,因为多关节机器人各连杆通过耦合连接在一起,实际的参数少于 10n
    事实上,寻找这样的方程是比较困难的。

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