机器人动力学方程的性质

一个 n 连杆的机器人的动力学方程含有很多项，特别是全部是转动关节的机械臂，让人看着害怕。但是，机器人动力学方程含有一些有助于开发控制算法的重要性质，其中最重要的是反对称性、无源性、有界性和参数的线性性。

反对称性（skew aymmetry）和无源性(passivity)

• 在动力学方程中，矩阵N=D˙−2C 是反对称性的，即 nij=−nji
  由于存在多个矩阵 C , 这里C存特定值：
  

  cijk=12(∂bij∂qk+∂bik∂qj−∂bjk∂qi)
  
  
  ∑j=1ncijq(j)=∑j=1n∑k=1ncijkq˙(k)q˙(j)=∑j=1n∑k=1n(∂bij∂qk−12∂bjk∂qi)q˙(k)q˙(j)

  由于 D˙(q) 的第 (k,j) 个元素 d˙kj=∑ni=1∂dkj∂qiq˙i

  矩阵 N=D˙−2C 的第 (k,j) 个元素可以表示为：
  

  nkj=d˙kj−2ckj=∑i=1n[∂dij∂qk−∂dki∂qj]
  
  可以看出：
  
  nij=−nji
  
  因此，矩阵 N 是反对称矩阵。对任意向量 ω , 有 ωTN(q，q˙)ω=0
  • 无源性
    机器人的总动能： H=12q˙TD(q)q˙+P(q) ，求导，得：
    
    H˙=q˙TD(q)q¨+12q˙TD˙(q)q˙+q˙T∂P∂q
    
    忽略摩擦和末端受力，带入动力学方程，可得，
    
    H˙=q˙Tτ+12q˙TN(q，q˙)q˙=q˙Tτ
    
    在公式两边同时对时间积分，得：
    
    q˙T(t)τ(t)dt=H(T)−H(0)≥−H(0)

  惯性矩阵的界限(bounded)

  对 n 连杆机器人，他的惯性矩阵是正定且对称的，对广义关节变量 q， 令 0<λ1(q)≠⋯≠λn(q) 表示 D(q) 的 n 个特征值。
  显然易得：
  

  λ1(q)In∗n≤D(q)≤λn(q)In∗n
  
  如果所有的关节都是转动关节，那么惯性矩阵都是关于关节变量的正弦和余弦函数，因此对应的广义坐标是有界的。如果惯性矩阵具有一致的界限，可以找到常数 λm 和 λM ，满足：
  
  λ1(q)In∗n≤D(q)≤λn(q)In∗n<∝

  参数的线性化(linearity-in-the-parameter)

  存在 n∗ℓ 函数 Y(q,q˙,q¨) ，以及 ℓ 维向量 Θ ，使得欧拉方程可以写成：

  D(q)q¨+C(q,q˙)q˙+g(q)=Y(q,q˙,q¨)Θ
  
  函数 Y(q,q˙,q¨) 被称为回归方程（regeessor）, 向量 Θ 为参数向量。

  对每一个刚体，可以通过 总质量、惯性张量、质心来表示，总十个独立的参数，因此，对于一个 n 连杆机器人来说，最多有10n个参数，因为多关节机器人各连杆通过耦合连接在一起，实际的参数少于 10n
  事实上，寻找这样的方程是比较困难的。