数据结构之图(二)——邻接矩阵

图的逻辑结构为多对多，图没有顺序存储结构，但可以借助二维数组来表示元素间的关系，即数组表示法(邻接矩阵)。图的链式存储结构可以用多重链表来描述，如邻接表，邻接多重表以及十字链表等。

邻接矩阵

• 数组(邻接矩阵)表示法：
  建立一个邻接表(记录各个顶点信息)和一个邻接矩阵(表示各个顶点间的关系)。
  1.设图A=(V,E)有n个顶点，则有顶点表Vexs[n]如下，

i	0	1	2	$\cdots$	n-1
Vexs[i]	$v_1$	$v_2$	$v_3$	$\cdots$	$v_n$

2.图的邻接矩阵是一个二维数组A.arcs[n][n]，定义为：
$$A.arcs[i][j]=\{\begin{array}{l}1如果<i,j>\in E或者(i,j)\in E\\ 0否则\end{array}$$

无向图的邻接矩阵

• 例子：
  
• 特点：
  1.无向图的邻接矩阵是对称的，且主对角线元素全为0(因为自己到自己没有边)。
  2.顶点i的度=第i行(列)中1的个数。
  3.完全图的邻接矩阵中，主对角元素为0，其余全为1。

有向图的邻接矩阵

• 例子：
  
  在有向图的邻接矩阵中，
  第i行的含义：以结点$v_i$为尾的弧(出度边)；
  第i列的含义：以结点$v_i$为头的弧(入度边)；

• 特点：
  1.有向图的邻接矩阵可能不是对称的。
  2.顶点的出度=第i行元素之和；
     顶点的入度=第i列元素之和；
     顶点的度=第i行元素之和+第i列元素之和。

网的邻接矩阵

• 网的邻接矩阵表示法：
  $$A.arcs[i][j]=\{\begin{array}{l}{W}_{ij}<v_i,v_j>或(v_i,v_j)\in VR\\ \infty 无边(弧)\end{array}$$

• 例子：
  

邻接矩阵的具体实现

• 邻接矩阵的存储表示：用两个数组分别存储顶点表和邻接矩阵。

#define MaxInt 32767             //表示极大值，即无穷大
#define MVNum 100                //最大顶点数
typedef char VerTexType;         //设顶点的数据类型为字符型
typedef int ArcType;             //假设边的权值类型为整型

typedef struct
{
	VerTexType vexs[MVNum];      //顶点表
	ArcType arcs[MVNum][MVNum];  //邻接矩阵
	int vexnum, arcnum;          //图的当前点数和边数
}AMGraph;  // Adjacency Matrix Graph

• 采用邻接矩阵表示法创建无向网
  • 算法思路
    • 1.输入总顶点数和总边数(为vexnum和arcnum赋值)
    • 2.依次输入点的信息存入顶点表中(为vexs[i]赋值)。
    • 3.初始化邻接矩阵，使每个权值初始化为极大值。
    • 4.构造邻接矩阵
  • 算法描述：

Status CreateUDN(AMGraph &G)
{
	cin >> G.vexnum >> G.arcnum;              //输入总顶点数，总边数
	for (i = 0; i < G.vexnum; ++i)            
		cin >> G.vexs[i];                     //依次输入顶点的信息
	for (i = 0; i < G.vexnum; ++i)
		for (j = 0; j < G.vexnum; ++j)
			G.arcs[i][j] = MaxInt;            //边的权值均置为极大值(无穷大)
	for (k = 0; k < G.arcnum; ++k)            //构造邻接矩阵
	{ 
		cin >> v1 >> v2 >> w;                 //输入一条边所依附的顶点及边的权值
		i = LocateVex(G, v1);            
		j = LocateVex(G, v2);                 //确定v1和v2在G中的位置
		G.arcs[i][j] = w;                     //边的权值为w
		G.arcs[j][i] = G.arcs[i][j];          //置地对称边的权值为w
	}
	return OK;
}

其中的LocateVex函数表示查找某顶点在顶点表中的位置，具体如下，

//在图G中查找顶点u，存在则返回其在顶点表中的下标，否则返回-1
int LocateVex(AMGraph G, VerTexType u)
{
	int i;
	for (i = 0; i < G.vexnum; ++i)
		if (u == G.vexs[i])
			return i;
	return -1;
}

• 采用邻接矩阵表示法创建其它图
  在前面创建无向网的基础上，只需经过一点修改，就可以创建无向图，有向网和有向图，操作如下图，
  

邻接矩阵表示法的优缺点

• 优点：

  • 直观、简单、好理解
  • 方便检查任意一对顶点间是否存在边
  • 方便找任一顶点的所有“邻接点”(有边直接相连的顶点)
  • 方便计算任一顶点的“度”。

• 缺点：

  • 不便于增加和删除顶点
  • 浪费空间——存稀疏图(点很多而边很少)有大量无效元素
    • 对稠密图(特别是完全图)还是很合算的
  • 浪费时间——统计稀疏图中一共有多少条边