Unity3D教程：游戏开发算法（二）

四、递归

    递归是设计和描述算法的一种有力的工具，由于它在复杂算法的描述中被经常采用，为此在进一步介绍其他算法设计方法之前先讨论它。

    能采用递归描述的算法通常有这样的特征：为求解规模为N的问题，设法将它分解成规模较小的问题，然后从这些小问题的解方便地构造出大问题的解，并且这些规模较小的问题也能采用同样的分解和综合方法，分解成规模更小的问题，并从这些更小问题的解构造出规模较大问题的解。特别地，当规模N=1时，能直接得解。

    【问题】 编写计算斐波那契（Fibonacci）数列的第n项函数fib（n）。

    斐波那契数列为：0、1、1、2、3、……，即：

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fib ( 0 ) = 0 ;


　　fib ( 1 ) = 1 ;


　　fib ( n ) = fib ( n -1 ) + fib ( n -2 ) （当n > 1 时）。

    写成递归函数有：

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int fib ( int n )


　　 { if ( n = = 0 ) return 0 ;


　　 if ( n = = 1 ) return 1 ;


　　 if ( n > 1 ) return fib ( n -1 ) + fib ( n -2 ) ;


　　 }

    递归算法的执行过程分递推和回归两个阶段。在递推阶段，把较复杂的问题（规模为n）的求解推到比原问题简单一些的问题（规模小于n）的求解。例如上例中，求解fib(n)，把它推到求解fib(n-1)和fib(n-2)。也就是说，为计算fib(n)，必须先计算fib(n-1)和fib(n-2)，而计算fib(n-1)和fib(n-2)，又必须先计算fib(n-3)和fib(n-4)。依次类推，直至计算fib(1)和fib(0)，分别能立即得到结果1和0。在递推阶段，必须要有终止递归的情况。例如在函数fib中，当n为1和0的情况。

    在回归阶段，当获得最简单情况的解后，逐级返回，依次得到稍复杂问题的解，例如得到fib(1)和fib(0)后，返回得到fib(2)的结果，在得到了fib(n-1)和fib(n-2)的结果后，返回得到fib(n)的结果。

    在编写递归函数时要注意，函数中的局部变量和参数知识局限于当前调用层，当递推进入“简单问题”层时，原来层次上的参数和局部变量便被隐蔽起来。在一系列“简单问题”层，它们各有自己的参数和局部变量。

    由于递归引起一系列的函数调用，并且可能会有一系列的重复计算，递归算法的执行效率相对较低。当某个递归算法能较方便地转换成递推算法时，通常按递推算法编写程序。例如上例计算斐波那契数列的第n项的函数fib(n)应采用递推算法，即从斐波那契数列的前两项出发，逐次由前两项计算出下一项，直至计算出要求的第n项。

    【问题】 组合问题

    问题描述：找出从自然数1、2、……、n中任取r个数的所有组合。例如n=5，r=3的所有组合为： （1）5、4、3 （2）5、4、2 （3）5、4、1

    （4）5、3、2 （5）5、3、1 （6）5、2、1

    （7）4、3、2 （8）4、3、1 （9）4、2、1

    （10）3、2、1

    分析所列的10个组合，可以采用这样的递归思想来考虑求组合函数的算法。设函数为void comb(int m,int k)为找出从自然数1、2、……、m中任取k个数的所有组合。当组合的第一个数字选定时，其后的数字是从余下的m-1个数中取k-1数的组合。这就将求m个数中取k个数的组合问题转化成求m-1个数中取k-1个数的组合问题。设函数引入工作数组a[ ]存放求出的组合的数字，约定函数将确定的k个数字组合的第一个数字放在a[k]中，当一个组合求出后，才将a[ ]中的一个组合输出。第一个数可以是m、m-1、……、k，函数将确定组合的第一个数字放入数组后，有两种可能的选择，因还未去顶组合的其余元素，继续递归去确定；或因已确定了组合的全部元素，输出这个组合。细节见以下程序中的函数comb。

    【程序】

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# include


# define MAXN 100


int a[MAXN];


void comb ( int m , int k )


{ int i , j;


for ( i = m;i > = k;i --)


{ a[k] = i;


if ( k > 1 )


comb ( i -1 , k -1 ) ;


else


{ for ( j = a[ 0 ];j > 0 ;j --)


printf ( “% 4 d” , a[j] ) ;


printf ( “\n” ) ;


}


}


}


void main ( )


{ a[ 0 ] = 3 ;


comb ( 5 , 3 ) ;


}

    【问题】 背包问题

    问题描述：有不同价值、不同重量的物品n件，求从这n件物品中选取一部分物品的选择方案，使选中物品的总重量不超过指定的限制重量，但选中物品的价值之和最大。

    设n件物品的重量分别为w0、w1、…、wn-1，物品的价值分别为v0、v1、…、vn-1。采用递归寻找物品的选择方案。设前面已有了多种选择的方案，并保留了其中总价值最大的方案于数组option[ ]，该方案的总价值存于变量maxv。当前正在考察新方案，其物品选择情况保存于数组cop[ ]。假定当前方案已考虑了前i-1件物品，现在要考虑第i件物品；当前方案已包含的物品的重量之和为tw；至此，若其余物品都选择是可能的话，本方案能达到的总价值的期望值为tv。算法引入tv是当一旦当前方案的总价值的期望值也小于前面方案的总价值maxv时，继续考察当前方案变成无意义的工作，应终止当前方案，立即去考察下一个方案。因为当方案的总价值不比maxv大时，该方案不会被再考察，这同时保证函数后找到的方案一定会比前面的方案更好。

    对于第i件物品的选择考虑有两种可能：

    （1） 考虑物品i被选择，这种可能性仅当包含它不会超过方案总重量限制时才是可行的。选中后，继续递归去考虑其余物品的选择。

    （2） 考虑物品i不被选择，这种可能性仅当不包含物品i也有可能会找到价值更大的方案的情况。

    按以上思想写出递归算法如下：

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try ( 物品i，当前选择已达到的重量和，本方案可能达到的总价值tv )


{ / * 考虑物品i包含在当前方案中的可能性 * /


if ( 包含物品i是可以接受的 )


{ 将物品i包含在当前方案中；


if ( i　　 try ( i + 1 , tw + 物品i的重量 , tv ) ;


else


/ * 又一个完整方案，因为它比前面的方案好，以它作为最佳方案 * /


以当前方案作为临时最佳方案保存;


恢复物品i不包含状态；


}


/ * 考虑物品i不包含在当前方案中的可能性 * /


if ( 不包含物品i仅是可男考虑的 )


if ( i　　 try ( i + 1 , tw , tv - 物品i的价值 ) ；


else


/ * 又一个完整方案，因它比前面的方案好，以它作为最佳方案 * /


以当前方案作为临时最佳方案保存;


}

    为了理解上述算法，特举以下实例。设有4件物品，它们的重量和价值见表：

    物品 0 1 2 3

    重量 5 3 2 1

    价值 4 4 3 1

    并设限制重量为7。则按以上算法，下图表示找解过程。由图知，一旦找到一个解，算法就进一步找更好的佳。如能判定某个查找分支不会找到更好的解，算法不会在该分支继续查找，而是立即终止该分支，并去考察下一个分支。

    按上述算法编写函数和程序如下：

    【程序】

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# include


# define N 100


double limitW , totV , maxV;


int option[N] , cop[N];


struct { double weight;


double value ;


} a[N];


int n;


void find ( int i , double tw , double tv )


{ int k;


/ * 考虑物品i包含在当前方案中的可能性 * /


if ( tw + a[i].weight < = limitW )


{ cop[i] = 1 ;


[ / i][ / i] if ( i　　 else


{ for ( k = 0 ;k　　 option[k] = cop[k];


maxv = tv;


}


cop = 0 ;


}


/ * 考虑物品i不包含在当前方案中的可能性 * /


if ( tv - a. value > maxV )


if ( i　　 else


{ for ( k = 0 ;k　　 option[k] = cop[k];


maxv = tv - a. value ;


}


}


void main ( )


{ int k;


double w , v;


printf ( “输入物品种数\n” ) ;


scanf ( ( “%d” , & n ) ;


printf ( “输入各物品的重量和价值\n” ) ;


for ( totv = 0.0 , k = 0 ;k　　 { scanf ( “% 1 f% 1 f” , & w , & v ) ;


a[k].weight = w;


a[k]. value = v;


totV + = V;


}


printf ( “输入限制重量\n” ) ;


scanf ( “% 1 f” , & limitV ) ;


maxv = 0.0 ;


for ( k = 0 ;k　　 find ( 0 , 0.0 , totV ) ;


for ( k = 0 ;k　　 if ( option[k] ) printf ( “% 4 d” , k + 1 ) ;


printf ( “\n总价值为%. 2 f\n” , maxv ) ;


}

    作为对比，下面以同样的解题思想，考虑非递归的程序解。为了提高找解速度，程序不是简单地逐一生成所有候选解，而是从每个物品对候选解的影响来形成值得进一步考虑的候选解，一个候选解是通过依次考察每个物品形成的。对物品i的考察有这样几种情况：当该物品被包含在候选解中依旧满足解的总重量的限制，该物品被包含在候选解中是应该继续考虑的；反之，该物品不应该包括在当前正在形成的候选解中。同样地，仅当物品不被包括在候选解中，还是有可能找到比目前临时最佳解更好的候选解时，才去考虑该物品不被包括在候选解中；反之，该物品不包括在当前候选解中的方案也不应继续考虑。对于任一值得继续考虑的方案，程序就去进一步考虑下一个物品。

    【程序】

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# include


　 # define N 100


　double limitW;


　int cop[N];


　struct ele { double weight;


　double value ;


　 } a[N];


　int k , n;


　struct { int ;


　double tw;


　double tv;


　 } twv[N];


　void next ( int i , double tw , double tv )


　 { twv. = 1 ;


　twv.tw = tw;


　twv.tv = tv;


　 }


　double find ( struct ele * a , int n )


　 { int i , k , f;


　double maxv , tw , tv , totv;


　maxv = 0 ;


　 for ( totv = 0.0 , k = 0 ;k　　 totv + = a[k]. value ;


　next ( 0 , 0.0 , totv ) ;


　i = 0 ;


　While ( i > = 0 )


　 { f = twv.;


　tw = twv.tw;


　tv = twv.tv;


　switch ( f )


　 { case 1 : twv. + + ;


　 if ( tw + a.weight < = limitW )


　 if ( i　　 { next ( i + 1 , tw + a.weight , tv ) ;


　i + + ;


　 }


　 else


　 { maxv = tv;


　 for ( k = 0 ;k　　 cop[k] = twv[k].! = 0 ;