正态分布（高斯分布）、Q函数、误差函数、互补误差函数

1.正态分布（高斯分布）

若随机变量 XX 服从一个位置参数为 μμ 、尺度参数为 σσ 的概率分布，且其概率密度函数为

f(x)=12π−−√σe−(x−μ)22σ2f(x)=12πσe−(x−μ)22σ2

则这个随机变量就称为正态随机变量，正态随机变量服从的分布就称为正态分布，记作 X∼N(μ,σ2)X∼N(μ,σ2) 。

当μ=0,σ=1μ=0,σ=1时，称为标准正态分布。 X∼N(0,1)X∼N(0,1) 

f(x)=12π−−√e−x22f(x)=12πe−x22

如下图是一般正态分布

 

如下图是标准整体分布

一般正态分布的分布函数F(x)F(x)

F(x)=P(X⩽x)=12π−−√σ∫x−∞e−(t−μ)22σ2dtF(x)=P(X⩽x)=12πσ∫−∞xe−(t−μ)22σ2dt

标准正态分布的分布函数Φ(x)Φ(x)：

Φ(x)=P(X⩽x)=12π−−√∫x−∞e−t22dtΦ(x)=P(X⩽x)=12π∫−∞xe−t22dt

2.Q函数

 Q函数又称标准正态分布的右尾函数。

Q(x)=∫∞x12π−−√ e−t22dt=1−Φ(x)Q(x)=∫x∞12π e−t22dt=1−Φ(x)

 

3.误差函数

erf(x)=2π−−√∫x0e−t2dterf(x)=2π∫0xe−t2dt

4.互补误差函数

erfc(x)=2π−−√∫∞xe−t2dt=1−erf(x)erfc(x)=2π∫x∞e−t2dt=1−erf(x)

 5.它们之间的关系

Q(x)=1−Φ(x)Q(x)=1−Φ(x)

Q(x)=12erfc(x/2–√)Q(x)=12erfc(x/2)

erfc(x)=2Q(2–√x)erfc(x)=2Q(2x)

erf(x)=1−2Q(2–√x)erf(x)=1−2Q(2x)

erf(x)+erfc(x)=1erf(x)+erfc(x)=1

注：

由正态分布密度函数的总积分为1（即概率 P(X<∞) = 1）得：