Matlab实现——结合AHP or 熵权法的TOPSIS评判模型

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前言

在前面的《利用Matlab实现AHP评判模型》一文中，我们有讨论到AHP的一些缺点，例如主观性过强、判断矩阵的填写需要专家填写难以实现以及缺乏数据支撑等。所以在这里我不然而然地就联想到了结合熵权法的TOPSIS算法。接下来本人将陈述我对该算法的理解及看法，并且利用Matlab实现该算法

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提示：本文学习数据由“清风老师”提供。

一、思维导图

老样子，我们沿着思维导图学习这一算法。在这里先留个大概印象，我们再一个个往里填叭。

二、TOPSIS

2.1 关于TOPSIS

L.Hwang 和 K.Yoon 于1981年首次提出 TOPSIS (Technique for Order Preference by Similarity to an Ideal Solution)。TOPSIS 法是一种常用的组内综合评价方法，能充分利用原始数据的信息，其结果能精确地反映各评价方案之间的差距。基本过程为基于归一化后的原始数据矩阵，采用余弦法找出有限方案中的最优方案和最劣方案，然后分别计算各评价对象与最优方案和最劣方案间的距离，获得各评价对象与最优方案的相对接近程度，以此作为评价优劣的依据。该方法对数据分布及样本含量没有严格限制，数据计算简单易行。

笔者刚学习这一模型，看这简介的时候就想：“这不比AHP要香？”有原始数据支撑，并且对于样本n种没有严格的限制，如果是AHP，n的取值就得小于15了，大于15，一次性检验就无法正常的进行了。

废话不多说，上数据叭。
eg：评价下表中20条河流的水质情况（其中，含氧量越高越好，河流PH值越接近7越好，细菌总数越少越好，植物性营养物质介于10~20之间最佳）

2.2 正向化处理

判断各组数据的类型，进而对各组数据进行正向化处理，即是将各组数据的判断指标统一为极大型判断指标，以至于我们可以从一方面评判这些数据，一般都是转化为极大型指标。类型有级小型、中间型以及区间型等，相应的处理过程如下：

1. 级小型数据转化为极大型数据
   相应处理公式：
   
   如数据中的细菌总数便是属于级小型数据，max=54，处理得：
   
2. 中间型数据转化为极大型数据
   相应处理公式：
   
   如数据中的PH值，越靠近中间值7越好，即属于中间型指标。对河流PH值这一列数据处理得：
   
3. 区间型数据转化为极大型数据
   相应处理公式：
   
   其中M：
   如数据中的植物性营养物质量，位于区间[10,20]最佳，即属于中间型数据，同样是按着公式对这一列数据进行正向化处理。

综上，即可得正向化矩阵D：

2.3 进行标椎化处理

然后我们在对正向化矩阵进行标椎化处理，进而得到标椎化矩阵Z。
处理公式如下：

（注意：标椎化的公式是不唯一的，还有其它的标椎化过程。）
即可得到标准矩阵如下：

2.4 对各个目标（决策、方案等）进行评分

1. 这一环节包括D+、D-、Wi、Si的计算。
   D+即为第i个目标对最大值（第i条河流对最好的“河流标准）的距离，D-为第i个目标对最小值的距离。
   即计算公式如下：
   
   其中，
   
   相反，Z+ 则为标椎化矩阵各列的最大值。Wi 则为各个评判指标的权重，通过AHP或者熵权法进行计算。
   通过上面的计算，我们即可得到未经过归一化处理的评分 Si：
   
2. 对评分进行归一化处理
   
   故，最终我们可以通过评分的大小来评估这20条河流水质的优劣情况。
   

三、熵权法

对于权重 Wi 的求解，可以用层次分析法或者熵权法来求解，AHP的方法在《利用Matlab实现AHP评判模型》一文中有详细的讲解，故这里不再加以赘述。这里利用熵权法对河流水质各指标的权重进行评估。

3.1 定义

按照信息论基本原理的解释，信息是系统有序程度的一个度量，熵是系统无序程度的一个度量；根据信息熵的定义，对于某项指标，可以用熵值来判断某个指标的离散程度，其信息熵值越小，指标的离散程度越大， 该指标对综合评价的影响（即权重）就越大，如果某项指标的值全部相等，则该指标在综合评价中不起作用。因此，可利用信息熵这个工具，计算出各个指标的权重，为多指标综合评价提供依据。

3.2 计算步骤

1. 检验标准矩阵的非负性
   即要求上面所得到的的标准矩阵的全部元素需要是非负数。如果存在小于0的书，这需要对正向化矩阵 D 利用下面公式重新进行标椎化。
   
2. 计算概率矩阵P，
   
   即第j项指标下第i个样本所长的比重。
3. 计算信息熵ej
   即信息熵的计算公式如下：
   
   通过上面的分析可以得知信息熵越大，信息所含的信息量越小。即该类信息所占权重也会越小。
4. 计算权重Wj
   首先计算信息效用值：dj = 1- ej，即是未归一化的权重，对信息效用值进行归一化处理即可得到每个指标的权重。
   

总结

熵权法求权重，相对于AHP求权重，熵权法是从数据本身出发，减少了操作者的主观性影响，但是却不一定合理，可以理解为方差大的指标权重就越大，但是相对于那些变化很小的数据，那方差如果几乎为0，那却不是快要忽略这些数据的影响了。所以说，一种模型合不合理是相对而论的，要具体看数据、使用环境而定。