R语言：蒙特卡洛方法求积分

一、蒙特卡洛方法简介

蒙特卡洛方法得名于摩纳哥的蒙特卡洛赌场，是大数定律的经典应用，即用大样本数据计算出来的频率估计概率，采样越多，越近似最优解，但永远不是最优解。
蒙特卡罗方法可以粗略地分成两类：一类是所求解的问题本身具有内在的随机性，可以借助计算机进行模拟，例如在物理中，对光子传输的模拟、分子运动的模拟以及犹豫不决，量子力学；或者经济学上，模拟市场走势等。
另一类是所求解的问题可以转化为概率分布问题，通过统计实验结果来求解。例如求圆周率，求定积分。

二、利用蒙特卡罗方法计算圆周率

代码：

N = 1000
x = matrix(runif(N*2), N, 2)
plot(x)
L = x[,1]^2 + x[,2]^2 < 1
points(x[L,], col = 'red')
n = sum(L)
p = 4*n/N

没什么高深的内核 咱就是说暴力美学出奇迹（bushi）

三、利用蒙特卡洛方法求定积分

首先，需要了解连续随机变量X的期望定义为:
$$E(X)={\int }_{-\infty }^{+\infty }xf(x)dx$$
连续变量X的任意函数g(x)也是一个随机变量，于是下式成立：
$$E(X)={\int }_{-\infty }^{+\infty }g(x)f(x)dx$$

利用蒙特卡罗方法求定积分的主要思想在于，将积分转换为期望的形式，再利用矩估计，用样本均值代替总体期望，样本均值也就近似为定积分结果： $${\int }_{-\infty }^{+\infty }g(x)dx=\frac{1}{f(x)}{\int }_{-\infty }^{+\infty }g(x)f(x)dx=\frac{1}{f(x)}E(X)$$
可以通过以下几个例子，加深理解。

例1

计算下列定积分
$${\int }_0^{1}xdx$$
手工推导：

代码展示：

# MC estimator
n = 3000
x = runif(n)  # 生成n个0到1之间服从均匀分布的随机数
g = x  # g(x)
mean(g)  # 矩估计：样本均值代替总体期望

例2

计算下列定积分
$${\int }_0^1{e}^{-x}dx$$
手工推导：

代码展示：

n = 3000
x = runif(n)
g = exp(1)^(-x)
mean(g)
1-1/exp(1)  # 解析解

例3

计算下列定积分
$${\int }_4^8{x}^{2}dx$$
手工推导：

代码展示：

n = 3000
x = runif(n,4,8)
g = x**2
(8-4)*mean(g)

总结:

经过上面三个练习，可以将原理推广为:
$${\int }_a^{b}g(x)dx=(b-a){\int }_{-\infty }^{+\infty }g(x)f(x)dx=(b-a)E(X)$$
但是该方法存在一个极大的缺点就是，计算效率低！！！但是耐不住它效果好，与解析解误差较小，所以应用依旧很广泛。