为什么协方差矩阵、相关系数矩阵半正定？

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预备知识：

有随机变量，则均值，协方差，令，设相关性为，则有 

协方差矩阵:

相关系数矩阵，其中，其中d是随机变量的方差。

注意：先看懂上面的预备知识，再看下面的半正定推理：

正定、半正定的定义方式有很多，这里给出一种常见的证明方式：

对于一个给定的非零向量a，判断矩阵A是否正定：判断是否成立。半正定：判断是否成立，区别在于一个是>号，一个是>=号。

物理意义：使用矩阵A对向量a进行空间变换后的向量a’（）与原始向量a的夹角的余弦值（），是否大于0（正定），或大于等于0（半正定）。

因此，证明协方差矩阵D半正定，只要证明。

推理：

与之类似的是相关系数矩阵P半正定推理，但需要加一点小技巧：

设，令，，，则相关系数矩阵，则有：

因此相关系数矩阵半正定。

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