线性代数 --- Gauss消元的部分主元法和完全主元法(补充)

Gauss消元的部分主元法和完全主元法(补充)

         本文主要是对下文的补充,而补充的主要内容就是如何直接求出(手动)部分主元法的P矩阵和L矩阵

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         在我之前写的文章中,我留下了一个问题。那就是,在高斯消元的过程中,如果使用了行交换(或者列交换),怎么才能像不选主元法那样直接写出标准的下三角L矩阵呢?以及如何直接写出P矩阵,使得:PA=LU呢?后面,分别有两个热心的网友留言,并进行了答复。其中有一个网友的留言,我已经做了验证,并把他所说的算法补充到了原文中。后来,又有一位网友留言,同时推荐了一本书(如下图):

线性代数 --- Gauss消元的部分主元法和完全主元法(补充)_第1张图片

        这里面详细介绍了直接写出标准下三角矩阵L和置换矩阵P的办法。且,这本书里的方法和我前文中的方法不完全一样(可以说更好),但也有相似之处,现在我就把数中的方法写出来。由于那本书中对矩阵的命名和我前文的命名有很大的不同,这里我依然沿用原书中的命名。


Part I: Lloyd书中不选主元法的表示方式

1,首先,为了便于比较,我们依然沿用原来的例子:

        就不选主元法而言,这本书没有使用基本消元矩阵E来记录高斯消元的过程。而是把主元下面所有元素的消元过程都放在一个矩阵中(或者说是用一个矩阵来记录一整列的消元过程),书中用带有下标的\large L_{n}矩阵表示。

线性代数 --- Gauss消元的部分主元法和完全主元法(补充)_第2张图片

为了便于比较,我这里也把用消元矩阵E_{xy}来表示的做法用书中的方式画下来了:

线性代数 --- Gauss消元的部分主元法和完全主元法(补充)_第3张图片

        前者是用E_{nn-1}...E_{n2}...E_{42}E_{32}E_{n1}...E_{31}E_{21}A来表示(或记录)消元的过程,而后者是用L_{n-1}...L_{2}L_{1}A来表示消元的过程。而且,从上面的列子,我们可以看出对于4x4的矩阵而言:

\large E_{41}E_{31}E_{21}=L_{1}

\large E_{42}E_{32}=L_{2}

\large E_{43}=L_{3}

2,此外,书中的L矩阵同样用到了基本消元矩阵的两个性质:

2.1,若要计算基本消元矩阵E_{xy}的逆,只需改变矩阵E_{xy}中第x行,第y列元素的符号即可。

例如(这不是本文起始处Ax=b所对应的消元矩阵):

线性代数 --- Gauss消元的部分主元法和完全主元法(补充)_第4张图片

 6个消元矩阵的逆(只需改变对应元素的符号即可)

线性代数 --- Gauss消元的部分主元法和完全主元法(补充)_第5张图片

 2.2,要求多个的消元矩阵(例子中为消元矩阵的逆)的乘积,只需在单位矩阵I中,逐一填入E_{xy}对应位置的值即可。

例如:

线性代数 --- Gauss消元的部分主元法和完全主元法(补充)_第6张图片

只不过,在这个作者的书中,他是以整列为单位操作的(即,以\large L_{n}矩阵为单位处理的),如下:

线性代数 --- Gauss消元的部分主元法和完全主元法(补充)_第7张图片

线性代数 --- Gauss消元的部分主元法和完全主元法(补充)_第8张图片

并且,他在书中把上文中提到的消元矩阵E_{xy}的两个特性称为两个LUCK“ two stroke of luck”。

Luck 1(20.4):等同于消元矩阵E的第一条属性,即,逆矩阵只需改变对应元素的符号即可:

线性代数 --- Gauss消元的部分主元法和完全主元法(补充)_第9张图片

Luck 2(20.5):等同于消元矩阵E的第二个属性,即,要求多个E的乘积,只需把E中的元素逐一填入单位矩阵I中对应的位置即可。

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线性代数 --- Gauss消元的部分主元法和完全主元法(补充)_第11张图片

线性代数 --- Gauss消元的部分主元法和完全主元法(补充)_第12张图片

        把L1,L2和L3中用红色方框框出来的元素(改变符号后,因为下图中为L的逆),逐一放在单位矩阵I中对应的位置,即可生成L矩阵。 

线性代数 --- Gauss消元的部分主元法和完全主元法(补充)_第13张图片

按照这位作者Lloyd N. Trefethen的做法,我也把用多个消元矩阵E_{xy}相乘的表示方式和用文中多个\large L_{n}矩阵相乘的表示方式做了一个类比:

线性代数 --- Gauss消元的部分主元法和完全主元法(补充)_第14张图片

相当于是Lloyd所使用的每一个\large L_{n}都恰好是第n列所对应的全部E矩阵相乘的结果。


Part II: Lloyd书中部分主元法的表示方式

        不选主元法,并不是本文的重点。下面我们看看在他的书中,如果遇到了行交换的问题,他是怎么直接写出L矩阵的。

1,首先,他在这里也是用P表示置换矩阵。

2, 和用消元矩阵E+置换矩阵P的表示方式一样,他也是按照从A到U的消元过程,按照消元的顺序,把整个消元过程用若干个置换矩阵P和消元矩阵L的乘积表示。(唯一不同的就是在我的方法中用的是E矩阵,而在他的方法中用的是L矩阵

我们先看看书中的一个例子,以便更好的理解他的做法,尤其要注意他的L'矩阵:

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线性代数 --- Gauss消元的部分主元法和完全主元法(补充)_第16张图片

(下图中的L1应为L2) 

线性代数 --- Gauss消元的部分主元法和完全主元法(补充)_第17张图片

最终,按照从A到U的消元顺序得到:

注意:这里L3P3L2P2L1P1逐一相乘后的结果和前面不选主元法的例子中得到的L3L2L1可不一样,由于置换矩阵P的存在,他得到的不是一个标准的下三角矩阵,但后者(L3L2L1)是,且后者的逆也是。

不选主元法中L3L2L1的结果:

L3L2L1和他的逆都是下三角矩阵,且他的逆可以直接根据L1,L2和L3写出来

而L3P3L2P2L1P1的结果这样的:

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注意,因为P矩阵的引入,L3P3L2P2L1P1的乘积不是下三角矩阵

更重要的是,在有P矩阵的情况下,你无法按照原来的方法直接写出标准的下三角矩阵L。

但,这本书的作者提到了一个可以直接写出标准下三角矩阵L的办法,并称之为第三个luck:

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线性代数 --- Gauss消元的部分主元法和完全主元法(补充)_第20张图片

 用他的话说就是,我们最终想得到的PA=LU中的P和L,他们分别由:

 和

  给出。

举个例子吧,如果是用部分主元法对一个4x4的矩阵消元,则我们所需要的L1',L2'和L3'分别是:

 而最终的L等于:

\large L=(L_{3}^{'}L_{2}^{'}L_{1}^{'})^{-1}={L_{1}^{'}}^{-1}{L_{2}^{'}}^{-1}{L_{3}^{'}}^{-1}

分别代入上面的L1',L2'和L3'得到:

\large L=(P^{3}P^{2}L^{1}{P^{2}}^{-1}{P^{3}}^{-1})^{-1}(P^{3}L^{2}{P^{3}}^{-1})^{-1}(L^{3})^{-1}

我们按照书中的说法做一遍,看看最终的结果:

线性代数 --- Gauss消元的部分主元法和完全主元法(补充)_第21张图片

线性代数 --- Gauss消元的部分主元法和完全主元法(补充)_第22张图片

线性代数 --- Gauss消元的部分主元法和完全主元法(补充)_第23张图片

线性代数 --- Gauss消元的部分主元法和完全主元法(补充)_第24张图片

线性代数 --- Gauss消元的部分主元法和完全主元法(补充)_第25张图片

        最后,我用他的这个方法来计算本文最开始的那个例子,有兴趣的读者可以和我原文中用消元矩阵E+置换矩阵P的算法算法做个对比:(尤其是要注意PnLn左乘和LnPn右乘的区别,以及右乘对最终L矩阵的影响,我想这就是作者所说的第三个Luck吧)

线性代数 --- Gauss消元的部分主元法和完全主元法(补充)_第26张图片

线性代数 --- Gauss消元的部分主元法和完全主元法(补充)_第27张图片

这里我们要注意两点: 

1,在计算Ln'矩阵时要注意:Ln'等于若干个置换矩阵P左乘Ln和若干置换矩阵P的逆右乘Ln。

        当我们自己手算时(也许包括编程时),如果注意到Ln后面所乘的一系列的置换矩阵P的逆,都只是为了把前面PPPP...PLn的结果变成下三角矩阵而已的话。

线性代数 --- Gauss消元的部分主元法和完全主元法(补充)_第28张图片

         且,我们在写L矩阵时也只是用到了Ln'中的第n列主元下面的值(要改变符号),完全不需要考虑他究竟是不是标准的下三角矩阵,也就是说大可不需要Ln后面的一系列的列交换操作,依然也能写出L矩阵。

        这样一来我们在计算Ln'时,可以选择一种取巧的办法,不去管Ln后面的P,只需把PPPP...PLn乘起来即可。

2,私以为,他的这种表示方法,有一个地方可以改进,那就是把P1,P2。。。的命名方式改成P14(交换14行),P23(交换23行)可能会更好,这样更直观一些。但,似乎又不利于计算Ln时的排序。。。


 (全文完)

作者 --- 松下J27

古诗词赏析

《破阵子·为陈同甫赋壮词以寄》

---辛弃疾

醉里挑灯看剑,梦回吹角连营。八百里分麾下炙,五十弦翻塞外声,沙场秋点兵。
马作的卢飞快,弓如霹雳弦惊。了却君王天下事,赢得生前身后名。可怜白发生!

参考文献(鸣谢):

《Numerical Linear Algebra》---Lloyd N. Trefethen, David Bau

线性代数 --- Gauss消元的部分主元法和完全主元法(补充)_第29张图片

 (配图与本文无关)

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