Matlab建模—导弹追踪问题

数学建模期末复习，撰写博客做总结之用，主要侧重于算例的模型建立与部分代码的实现，其中不足之处望读者多多指正。

Matlab微分求解工具箱使用

• 求数值解

dsolve(‘方程1’,‘方程2’,…,‘方程n’,‘初始条件’,‘自变量’)

• 求解析解

[t，x]=solver(’f’,ts,x0,options)

详细的使用说明可参考博文Matlab微分方程求解

导弹问题

问题介绍

• 设位于坐标原点的甲舰向位于x轴上点A(1, 0)处的乙舰发射导弹，导弹头始终对准乙舰．如果乙舰以最大的速度$v_0$(常数)沿平行于y轴的直线行驶，导弹的速度是5$v_0$，求导弹运行的曲线方程．乙舰行驶多远时，导弹将它击中？
  

模型建立与求解

1. 解析法

模型建立：设t时刻导弹的位置为P(x(t),y(t)),乙舰位于Q（1,$V_{0}t$），由题（导弹头始终对准乙舰）可得，导弹在运动弧线p点处的切线$y^{\prime }=\frac{v_{0}t-y}{1-x}$即 $$v_{0}t=(1-x)y^{\prime }+y(1)$$
又由题意（导弹速度是舰的5倍）故有：$${\int }_0^x\sqrt{1+y{}^{\prime 2}}\mathrm{d}x=5v_{0}t(2)$$
有（1）（2）式可得微分微分方程为：$$(1-x)y^{\prime \prime }=\frac{1}{5}\sqrt{1+y^{\prime 2}}（3）$$
初值方程为：$y(0)=0$，$y^{\prime }(0)=0$，利用Matlab求解可得：$$y=-\frac{5}{8}(1-x{)}^{\frac{4}{5}}+\frac{5}{12}(1-x{)}^{\frac{6}{5}}+\frac{5}{24}$$

2. 数值解法

将上述方程化为一阶方程，不妨设$y_1=y,y_2=y^{\prime }$,代入（3）中得到$$\{\begin{array}{l}{y}_1^{\prime }=y_2\\ y_2^{\prime }=\frac{1}{5}\sqrt{1+y_1^2}/(1-x)\end{array}$$
利用Matlab求解：

%定义函数
function dy=eq1(x,y)
    dy=zeros(2,1);
    dy(1)=y(2);
    dy(2)=1/5*sqrt(1+y(1)^2)/(1-x);
end

调用
x0=0;
xf=0.9999;
[x,y]=ode15s('eq1',[x0 xf],[0 0]);
plot(x,y(:,1),'-') 
hold on
y=0:0．01:2;
plot(1,y,'*')

由图可得，导弹大致在点（1,0.2）处击中乙舰。

3. 参数方程

上述结题假设不变，在此基础再将导弹的速度设为$w$,则在P点处有：$$(\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}{)}^2+(\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t}{)}^2=w^2（1）$$
同时，导弹始终对准乙舰，即导弹速度向量与乙舰的位置向量平行，故有：
$$\left(\begin{array}{l}\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}\\ \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t}\end{array}\right)=\lambda \left(\begin{array}{l}X-x\\ Y-y\end{array}\right),\lambda >0(2)$$
将
$$\{\begin{array}{l}\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}=\frac{w}{\sqrt{(X-x{)}^2+(Y-y{)}^2}}(X-x)\\ \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t}=\frac{w}{\sqrt{(X-x{)}^2+(Y-y{)}^2}}(Y-y)\end{array}（3）$$
不妨假设乙舰速度为1，则w=5，X=1，Y=t，此时导弹的参数轨迹为：
$$\{\begin{array}{l}\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}=\frac{5}{\sqrt{(1-x{)}^2+(t-y{)}^2}}(1-x)\\ \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t}=\frac{5}{\sqrt{(1-x{)}^2+(t-y{)}^2}}(t-y)\\ x(0)=0,y(0)=0\end{array}$$

matlab求解：

function dy=eq2(t,y)
         dy=zeros(2,1);
         dy(1)=5*(1-y(1))/sqrt((1-y(1))^2+(t-y(2))^2);
         dy(2)=5*(t-y(2))/sqrt((1-y(1))^2+(t-y(2))^2);
end

%调用
[t,y]=ode45('eq2',[0 2],[0 0]);
          Y=0:0.01:2;
          plot(1,Y,'-')
          hold on          
          plot(y(:,1),y(:,2),'*')

由图可得，导弹最终大致在（1，0.2）处命中目标。这里还以尝试用二分法的思想进一步得到更精确的答案，……tf=0.21是可得求解图像为：

据此可得更为精确的答案。