CV学习笔记-相机模型（欧式变换及仿射变换）

相机模型

1.相机模型原理

1. 相机成像

相机成像是一个小孔成像模型，将现实生活中的三维空间物体映射到二维的成像平面上，进而生成二维的图像。

相机模型中的坐标系：

• 世界坐标系Pw(Xw, Yw, Zw)： 对应真实客观三维世界的坐标系，也称为客观坐标系，表征物体在真实世界中的位置坐标。世界坐标系是随着物体的大小和位置变化的，单位一般是长度单位。
• 摄像机坐标系PO(x, y, z)： 对应以相机的光心为原点的坐标系，其以平行于图像的x和y方向为x轴y轴，z轴与光轴平行，单位也为长度单位。
• 图像物理坐标系P’(x’, y’)： 对应以主光轴和图像平面交点为坐标原点的坐标系，单位仍为长度单位。
• 图像像素坐标系P(u, v)： 对应以图像的顶点为坐标原点的坐标系，u和v的方向平行于x’和y’方向， 单位是像素

相机成像流程：

Created with Raphaël 2.3.0 外部实体 世界坐标系 相机坐标系 图像物理坐标系 像素坐标系

2. 坐标变换

欧式变换： 在任何的三维空间的物体，都可以以三维坐标系表示，也即在现实空间中的物体的点，在不同的坐标系下的坐标是不一样的，因为基底不同，那么一个固定的点，在一个坐标系下的坐标，如果转换到另一个坐标系下，使得另外一个坐标系能够确定这个位置，就需要用到欧式变换。 任何一个坐标系到另一个坐标系的转换可以通过旋转和平移完成。

平移变换&旋转变换&齐次坐标：

平移变换是指转换双方坐标系经过有限次平移可以重合，情形例如高帽在人脸的正上方的情况，这样人脸的中心坐标系转换到高帽中心坐标系，仅需将坐标原点向上平移变换即可，没有坐标轴的旋转偏移，在线性代数里的平移变换是在空间坐标系中所在位置的转换，习惯用坐标系中的O的向量表示，通过向量的加常量即可实现，多次平移变换直接进行向量相加即可实现。平移变换比较简单易懂，而旋转变换较为复杂，可以通过二维坐标旋转变换推广到三维笛卡尔坐标系下，对于空间里的刚体来说，是有六个自由度的，绕xyz的转动自由度有三个，而在二维平面中，只能绕垂直平面的轴旋转，即只能有一个自由度，那么对于三维坐标系来说能够写出3×3的R矩阵，记为旋转矩阵

上式表示从B坐标系转换到A坐标系的旋转矩阵中的每一列子向量，等价为B坐标系的坐标轴单位向量在A坐标系中的表示。不难发现这个旋转矩阵是正交单位阵，故有以下推论：

上式说明，矩阵的每一行就是A坐标系的坐标轴在B坐标系中的表示。旋转变换的公式如下：

连续的旋转变换只要矩阵相乘即可。当旋转平移变换同时出现的时候，引入齐次坐标变换的概念；

由上面的结论不难推出此变换过程，这个过程如果用一个矩阵表示，会简洁很多，齐次坐标变换矩阵也应运而生，上图的变换过程等效于以下表达：

T矩阵就是该变换中的齐次坐标变换矩阵，齐次坐标变换矩阵T是一个四阶方阵，可以同时表示旋转变换和平移变换，齐次坐标变换矩阵公式表达如下：

将上面推导过程的角标简化，举个例子：

若将向量a进行两次欧式变换，旋转和平移分别为R1，t1和R2，t2，分别得到：

b = R1*a + t1; c = R2*b + t2; c = R2*(R1*a + t1) + t2

世界坐标系到相机坐标系：

世界坐标系到相机坐标系的变换中也不例外的存在旋转矩阵R和平移矩阵t，关系表示为：

相机坐标系到图像物理坐标系：

• 原理：相似三角形

• 矩阵表示为：f为焦距

图像物理坐标系到图像像素坐标系：

• 原理：坐标偏移(dx、dy表示x和y方向上的一个像素分别占多少个长度单位，dx、dy可能为小数)

• 齐次坐标表示：

相机坐标系到图像像素坐标系的连续欧式变换：

世界坐标系到图像像素坐标系：

• 推导过程：

• 结论：

2. 镜头畸变

1. 镜头畸变

由于制造精度以及组装工艺的偏差，透镜的成品往往会产生畸变，导致原始图像失真。镜头畸变分为径向畸变和切向畸变。

2. 径向畸变

• 原因 ： 由于透镜的形状产生的畸变称为径向畸变，透镜径向畸变后点位的偏移示意图：

枕形畸变

桶形畸变

3. 切向畸变

• 原因： 切向畸变是由于透镜本身与相机传感器平面（成像平面）或图像平面不平行而产生的。（大多是由于透镜被粘贴到镜头模组上的安装偏差导致）

4. 畸变矫正

方法：

• 径向畸变和切向畸变模型中一共有5个畸变参数，在Opencv中他们被排列成一个5*1的矩阵，依次包含k1、k2、p1、p2、k3（这5个参数就是相机标定中需要确定的相机的5个畸变系数），经常被定义为Mat矩阵的形式

  Mat distCoeffs = Mat(1.5, CV_32FC1, Scalar::all(0));
  

• 求得这5个参数后，就可以校正由于镜头畸变引起的图像的变形失真。

3. 透视变换

1.定义

透视变换又称投影映射(Projective Mapping)，是将一个图片从原有平面投影到一个新的视平面(Viewing Plane)的过程。

2. 目的

现实中的物体为直线的棱等在图片中可能是斜线，通过透视变换可以把这条斜线变换成直线。

3. 与仿射变换的区别

仿射变换是透视变换的一个特例，仿射变换（Affine Transformation 或 Affine Map）是指在几何中图像从一个向量空间进行一次线性变换和一次平移，变换到另一个向量空间的过程。

4. 变换过程

• 变换公式：

​ 下式中的X,Y是原始图片坐标（上式的x,y），对应得到变换后的图片坐标（X’;Y’;Z’）其中Z’=1：

一般地，我们令a33=1，展开上面公式，得到一个点的情况：

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