函数的连续性以及间断点

函数连续性

        设 y = f(x) 在 x0处 的某邻域内有定义,如果当自变量的增量\Delta x = x - x0趋近于零时,对应的函数值变化量 \Delta y = f(x_0 + \Delta x) - f(x_0)也趋近于零,即\lim _{\Delta x \to 0}\Delta y = 0 ,则称函数 y = f(x) 在 x0 点连续。

        这个定义如何理解,看图就很明白了函数的连续性以及间断点_第1张图片

图片原地址: https://www.wendangwang.com/doc/ce215e8c225ce3321899ebc7/2

        如果函数在x0处连续(左图),那么无论\Delta x是正还是负(x向右或向左变化),对应x_0 + \Delta x处的函数值会无限接近f(x_0),因此函数值的变化量\Delta y = 0。从图上看就是曲线没有断开。

        如果函数在x0不连续(如右图),当\Delta x < 0时,从x0左侧无限逼近x0,从图上可以看到\Delta y = 0;但当\Delta x>0时,从x0右侧无限逼近x0时,\Delta y \neq 0。这种情况下,函数仅左侧连续,曲线断开。

        函数的单侧连续定义:

        如果函数 y = f(x) 左极限\lim _{x \to x_{\bar{0}-}} = f(x_{0-}) 存在且等于 f(x_0) ,则称  f(x)在  x0点左连续;

        如果右极限\lim _{x \to x_{\bar{0}+}} = f(x_{0+}) 存在且等于 f(x_0) ,则称  f(x)于 x0 点右连续。

        函数在一点连续的充要条件是在该点处既左连续又右连续。

        区间连续性:如果函数在开区间(a,b)里每个点都连续,则函数在(a,b)中连续。如果函数在闭区间[a,b]中连续,则函数在(a,b)中连续,并且左端点a右连续,右端点b左连续。

 函数间断点

        设函数  y = f(x)  在 x0点的某去心邻域内有定义。如果 f(x)有下列三种情形之一:

        1.在x0处没有定义;

        2.在x0处有定义,但极限\lim _{x \to x_0} f(x)不存在;

        3.在x0处有定义,极限\lim _{x \to x_0} f(x)存在 ,但\lim _{x \to x_0} f(x) \neq f(x_0) ;

        则函数y = f(x)在x0处不连续,称x0为f(x)的间断点,下面看几种不同类型的间断点:

        1. tanx的函数图像如下

函数的连续性以及间断点_第2张图片              

                 以x = \pi / 2为例,函数在x = \pi / 2处没有定义,这个点是tanx的一个间断点,由于\lim _{x \to \pi/2} f(x) = \infty,因此这个点是tanx的无穷中断点

 2.  y = sin\frac{1}{x}图像

        

函数的连续性以及间断点_第3张图片

         此函数在x = 0处没有定义,在x = 0点的左右两侧,函数值不停地在[-1,1]之间震动,x = 0点是函数的震荡间断点

3. y = \frac{x^2 - 1}{x + 1}图像

函数的连续性以及间断点_第4张图片

         此函数在x = -1处无定义,但x = -1处左右极限都存在,且左右极限都等于-2,如果加上(-1,-2)这个点,函数就连续了,x = -1叫做函数的可去间断点

4. f(x) = \left \{ x -1 (x < 0); 0(x = 0); x + 1(x > 0) \right \}

函数的连续性以及间断点_第5张图片

        此函数在x = 0处有定义,左右极限都存在,但左右极限不相等,x = 0点叫做函数的跳跃间断点。 

        通常间断点分两类:

        第一类间断点(可去间断点、跳跃间断点),x0是 f(x)的间断点,左极限与右极限都存在(不一定相等)。

        第二类间断点(无穷间断点、振荡间断点), x0是 f(x)的间断点,左极限与右极限中至少有一个极限不存在。

参考

        第九讲 函数的连续性与函数的间断点 - 知乎

你可能感兴趣的:(工作中所涉及的数学知识,其他)