备战蓝桥--GCD和LCM（进阶）

特殊注意事项

gcd：最大公约数
lcm：最小公倍数
其他定义就省略了，自己查查吧

gcd最大公约数

基本案例

gcd( 15 , 81 ) =3
gcd ( 0 , 44 ) = 44
gcd( 0 , 0 ) =0
gcd ( -6 , -15 ) = 3 两个负数的最大公约数为正数
gcd( -17 , 289 ) = 17 一正一负也得正数

性质

（1）gcd(a,b) = gcd(a,a+b) =gcd(a,ka+b) =gcd(kb+a,b)
（2）gcd(ka ,kb)=k * gcd(a,b)
（3）多个整数的最大公约数：gcd(a,b,c) =gcd(gcd(a,b) , c) 两个两个地求
（4）若gcd (a,b)=d,则gcd(a/d,b/d) =1，即剩下两个数互质

代码实现

（1）最简单的就是用库函数，
c++:std::__gcd(a,b)
（2）辗转相除法

int gcd(int a,int b)
{
	return b?gcd(b,a%b):a;
}

求gcd(a,b) ,a>b,需要O((loga)^3) 次运算，效率非常高
（3）辗转相减法
具体可参考这篇博文：https://blog.csdn.net/qq_31828515/article/details/51812154

LCM最小公倍数

求出gcd后就超级简单了
lcm(a,b) =a*b/gcd(a,b);

int lcm(int a,int b)
{
	return a/gcd(a,b)*b;
}

**小技巧：**先乘再除，防止数据溢出

简单基本应用

案例一、蓝桥–等差数列：http://oj.ecustacm.cn/problem.php?id=1466
案例二、蓝桥–核桃的数量：http://oj.ecustacm.cn/problem.php?id=1435
案例三、最大最小公倍数：蓝桥杯VIP试题（找不到资源，呜呜呜）

案例一：
自己想法：利用等差数列的性质，枚举公差，排序后一步步往后比对
gcdAC代码：

#include 
using namespace std;
#define MAXSIZE 1000000
int num[MAXSIZE];
int main()
{
  int n;cin>>n;
  for(int i=0;i<n;i++)
  {
  	cin>>num[i];
  }
  sort(num,num+n);
  int pre=1;
  for(int i=1;i<n;i++)
  {
  	int t=num[i]-num[i-1];  //相邻两个数的差值
	if(i==1) pre=t;
	pre=__gcd(pre,t);
  }
  //cout<
  if(pre==0) cout<<n;   //注意数列全部相等，即公差为0的情况
  else cout<<(num[n-1]-num[0])/pre+1;
  return 0;
}

案例二AC代码：

#include 
using namespace std;
int main()
{
  int a,b,c;
  cin>>a>>b>>c;
  int g=__gcd(a,b);
  g=a*b/g;
  int t=__gcd(g,c);
  cout<<(g*c)/t;
  return 0;
}

案例三、最大最小公倍数
题意
给一个数n，在1–n中任选3个数，求出这个三个数的最小公倍数。然后求出这个最小公倍数的最大值。

分析
当n比较小时（在要求的时间范围内时）可以直接用暴力法从n、n-1、n-2贪心找
当n比较大时，暴力法就不行了
用分析法：
这三个数应该两两互质，如果不互质就会有公约数，最小公倍数就会变小
相邻的两个数必然互质
利用贪心算法，从最大的数开始考虑
（1）当n为奇数时，n-1为偶数，n-2为奇数，n-1和n-2必然互质（很接近的两个奇数肯定互质），此时n、n-1、n-2互质，最小公倍数为三者乘积结果最大
（2）当n为偶数时，n-1为奇数，n-2为偶数（此时n和n-2有公因子2，丢掉考虑n-3）,n-3为奇数，n-1和n-3肯定互质（相邻奇数）,只需考虑n和n-3
n和n-3要么都是3的倍数，要么就互质
若n不能被3整除，则n-3也不能被3整除，二者互质，n、n-1、n-3为三个数
若n能被3整除，则n-3也能，丢掉n，考虑n-1 、n-2、n-3，n-1和n-3都是奇数，则三者满足条件
从分析可以看出，满足条件三个质数必然包含在最大的4个数里面

代码：

#include 
using namespace std;
int main()
{
  int n;
  cin>>n;
  int ans=1;
  if(n%2) //n为奇数
  {
  	ans=n*(n-1)*(n-2);
  } 
  else
  {
  	if(n%3) ans=(n-1)*(n-2)*(n-3);
  	else ans=n*(n-1)*(n-3);
  }
  
  return 0;
}

难题提高应用

最大比例：https://www.lanqiao.cn/problems/120/learning/
或者 http://oj.ecustacm.cn/problem.php?id=1289
Hankson的趣味题：https://www.lanqiao.cn/problems/520/learning/
最大体积（VIP试题）：http://lx.lanqiao.cn/problem.page?gpid=T261