计算机图形学【GAMES-101】10、材质(BRDF)(折射、菲涅尔项、微表面模型、各向异性材质)

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1、矩阵变换原理Transform(旋转、位移、缩放、正交投影、透视投影)
2、光栅化(反走样、傅里叶变换、卷积)
3、着色计算(深度缓存、着色模型、着色频率)
4、纹理映射(重心坐标插值、透视投影矫正、双线性插值MipMap、环境光遮蔽AO)
5、几何(距离函数SDF、点云、贝塞尔曲线、曲面细分、曲面简化)
6、阴影映射(Shadow Mapping)
7、光线追踪原理(线面求交、预处理光追加速)
8、辐射度量学与光线追踪
9、蒙特卡洛路径追踪(Path Tracing)(光源采样)
10、材质(BRDF)(折射、菲涅尔项、微表面模型、各向异性材质)
11、渲染前沿技术介绍(双向路径追踪BDPT、MLT、光子映射、实时辐射度、外观建模)
12、相机（视场、曝光、光圈(F-Stop)、薄棱镜近似、CoC、景深）
13、光场、颜色与感知
14、动画（物理模拟、质点弹簧系统、粒子系统、运动学、动作捕捉、欧拉方法）

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1 自然界中的材质

• 首先了解自然界中的材质
  
  如上这幅图，不同的物体、场景、组合，会让我们看到不同的效果
  但是归根到底就一个核心：光线如何传播的，又是如何跟物体作用的。
  研究自然界中的材质，就是在研究光线如何传播

2 计算机图形学中的材质

由于渲染方程是几乎100%正确的，那么方程中一定有一项是描述材质的，材质 == BRDF
如下3D的由四边形组成的模型，右边是渲染后的图，表现为陶瓷杯，为啥就能看出是陶瓷？ 因为在渲染方程中通过对BRDF函数的定义，使杯子表现了一定程度的镜面反射+漫反射，给人一种陶瓷感。

2.1 漫反射材质(BRDF)

漫反射的BRDF推导过程：

• 假设入射光是均匀分布在半球上的并且处处相等，漫反射光也同入射光一样，均匀的分布，且处处相等。
• 由能量守恒可以知道入射的照度Irradiance == 出射的Irradiance，并且入/出射都是均匀分布，那么他们任一单位立体角方向的通量即Radiance必须一样，即 L_o = L_i 建立渲染方程如下：
• 对cosθ在半球上的定积分结果为π，最终可得到完全不吸收能量的漫反射BRDF为：f_r = 1 / π
• 其中还定义了 ρ 反射率albedo，可以是单通道(0~1)、三通道(RGB)，从而可以引入不同颜色的漫反射BRDF
  

2.2 抛光/毛面金属材质(BRDF)

这种材质散射规律是在镜面反射方向附近，一小块区域进行均匀的散射，用代码实现的话也很简单，算出镜面反射方向(x,y,z)，就以（x,y,z）为球心(圆心也行)，随机在球内生成一个点，以反射点到这个点作为真的反射方向。这样的话，高一点的SPP下，就能够均匀的覆盖镜面反射方向附近的一块小区域了

2.3 完全镜面反射+折射材质(BRDF)

折射方向稍微难算一些，镜面反射方向简单。

这种材质与光的作用方式可分为射入和射出（默认折射率η比空气大）

• 从空气射入材质内部，则一定是镜面反射+折射同时发生
• 如果从材质内部射入空气，则分两种情况
  • 镜面反射+折射
  • 不满足折射条件，仅镜面反射

2.3.1 镜面反射方向（立体角）计算

立体角是用 天顶角θ 和 方位角φ 来描述的

• 反射立体角中的天顶角θ计算
  • 先画图，注意三个方向都是单位向量，入射出射角度相等
  • 根据平行四边形法则，可以构建方程解出出射方向向量：ω_o
  • 解释一下：ω_i + ω_o = 2 · 红线向量，红线向量：cosθ_i · |ω_i|。平行四边形最长的那根对角线长度为2cosθ_i · |ω_i| ，|ω_i| = 1可以省略，即2cosθ_i，但这只是个标量，所以用这个标量乘以方向向量n，就得到对角线这一段向量为2cosθ_i · n ；角度θ用点乘算出。 最终得到下面等式，即可得到出射方向
    
  • 还有一种方法理解起来也很容易：反射方向 = V + 2B
    

这里其实可以看出来，计算镜面反射方向其实还是有那么点麻烦的吧，所以之前进行Blinn-Phong模型着色计算时，高光项判断出射方向是否足够接近镜面反射时，没有用镜面反射方向与出射方向做比较，而是用半程向量half vector跟法线n来比，半程向量计算非常简单：入射＋出射然后单位化就行了。

• 反射立体角中的方位角φ不用计算，他们必然在一个面上，并且相差180°，满足下面这个方程
  

天顶角与方位角的出/入射角满足：

• 方位角：φ_o = (φ + π)mod 2π
• 天顶角：θ_i = θ_o

2.3.2 折射方向计算

光从一种介质进入到另一种介质就会发生折射。
第三幅图水底的这种现象称为caustics，这是由于水面凹凸不平，水底某些点会聚集较多的光线，有点聚焦的意思。

折射方向计算：
斯内尔定律(Snell’s Law)： 给出了描述光从一种介质传播到另一种介质时是如何折射的方程：η_isinθ_i = η_tsinθ_t
必须知道两种材质的折射率η₁，η₂，和入射角度θ_i，然后能得到θ_t；再根据入射和出射的方位角关系公式，能算出φ_t。θ_t和φ_t组成ω_t

折射发生的条件：

• 光疏介质->光密介质：必然折射
• 光密介质->光疏介质：根据入射角度大小，过大可能就没有折射而是全反射
  所以会有一个全反射和折射的临界角
• 证明：
  由折射方程：η_isinθ_i = η_tsinθ_t，sin²θ + cos²θ = 1可知
  
• 看根号内的式子(首先1-cos²θ_i < 1 恒成立)
  当η_i/η_t < 1，根号下式子 > 0，等式有意义，必然发生折射 。
  当η_i/η_t > 1，具体看1-cos²θ_i 的大小，如果入射角θ_i比较大，根号下式子可能会 < 0。

例子：水介质和光介质

• 两个角度看这张图：
  (1)光从空气射入水中，可以明显看到，空气中不管角度多大都会发生折射
  (2)记住图形学中考虑问题都是摄像机发射光线，光线从水中射入空气，只能看到大概97.2°的一个锥形区域的光，角度再大一点就发生全反射了。所以超过这个锥形区域，其他地方的光都射向水底了，比较黑。

BRDF：双向反射分布函数，用于计算反射光的能量百分比
BTDF：双向透射分布函数，用于计算折射光的能量百分比
BRFD 和 BTDF 统称为双向散射分布函数BSDF（Bidirectional scattering distribution function）
一般生活中也可直接用BRDF，不区分BTDF BSDF

3 菲涅尔项(Fresnel Term)

反射率取决于入射角度，入射光与法线的夹角越大，反射的能量越多

• 从书上反射出的光，射到桌面然后反弹到人眼中，如果入射光跟法线夹角比较小(左1)，则几乎看不到桌面的倒影，即反射能量比较少；当入射光跟法线夹角特别大，几乎接近90°的时候，桌面会形成比较明显的书的倒影，也就是能量衰减得比较少。
  
  入射角度与反射率关系曲线图
  • 绝缘体(非金属)
    可以看到如果一根光线跟法线几乎成90°的话，反射率几乎为1，没有能量损失
    虚线可以不看，这部分是偏振光的性质，实线是两个方向偏振光取平均的结果，看红实线即可
    
• 导体(金属物品)
  不管什么角度反射率都蛮高的
  
  菲涅尔项的计算
  • 精确计算菲涅尔项(没有必要)
    求s、p偏振光的菲涅尔项，然后取两者的平均作为最终结果
    计算挺复杂，明白这玩意儿跟出/入射角度、介质反射率η有关就行了
    
  • 近似计算：Schlick’s approximation(性价比更高)
    • R(θ)函数，自变量θ为入射光线与法线夹角，定义域在[0°,90°]，返回值为反射率，值域[0,1]
    • Schlick提出这个计算方式，其实就是重新拟合了一条曲线，近似的表现上面介绍的“入射角度与反射率关系曲线图”。R₀就是入射光与法线夹角为0时的反射率。
    • 我们如果代入θ = 0，θ = 90，进去算很容易看出R(0) = R₀，R(90) = 1 ，还是比较正确的。这个函数同时适用于导体和绝缘体。
    • n1，n2是两种介质的折射率
      

在这里提到菲涅尔项的目的：引出微表面材质/模型

4 微表面材质(Microfacet Material)

研究微表面材质的动机是什么？—— 因为现实生活中，确实有这种现象存在

• 如下，卫星拍摄的一幅图， 可以看到那一片高光，很神奇很不对劲，因为这是地球，地球表面是凹凸不平的，但是在目前的角度和距离下，这片高光的效果就跟它表面是个略有粗糙度的平面一样。
• 只要当视角离得足够远，我们看不到表面的细节，只能看到光对该表面整体的作用结果

4.1 微表面模型Microfacet Theory/Model

对于看向一个粗糙表面

• 宏观上：平坦且略有粗糙
• 微观上：凹凸不平，且每个微元都认为只发生镜面反射

总之，要有这么一个概念：从近处看能看到不同的几何细节，拉远后细节消失，看到的是材质

为什么会发生漫反射？因为粗糙的物体表面在微观上可以看成超级多细小的镜子，他们的朝向/法线各不相同，他们会把光线反射到四面八方.

微表面BRDF

• 对于glossy毛面的材质，微表面的法线方向其实差不多，
  
  把他们的分布画出来，会集中在宏观的法线周围(宏观即不看微表面，镜头拉远后忽略细节，法线正直朝上)
  材质的效果如右图所示
  
• 对于特别粗糙的材质，微表面法线分布图(左)，渲染效果(右)
  

所以，通过微表面理论，我们可以把表面的粗糙程度用 微表面的法线分布 来表示

• 如果微表面法线分布集中 ==> glossy
• 如果微表面法线分布分散 ==> diffuse

那么对于微表面而言，入射光 ω_i 反射到 ω_o 方向会有多少能量？

4.1.1 微表面的 BRDF (双向反射分布函数 f(i,o))

• 注意：微观上对于表面任意一个点来说，是镜面反射
  
• F(i,h)：Fresnel Term 菲涅尔项。给定入射方向 ω_i 和半程向量h方向，返回反射方向的反射率，值域[0,1]
• D(h) ：Distribution of normals 微表面的法线分布。给定一个半程向量h，返回法线位于该方向的微表面数量
• G(i,o,h)：Shadowing Masking Term 阴影遮蔽，也叫几何项。 当入射光以非常平(Grazing Angle 掠射角度)的射向表面时，有些凸起的微表面就会遮挡住后面的微表面。这一项其实就起修正作用，当入射为掠射角度时，这一项可能就会返回一个比较小的数比如0.5 0.4之类的，把BRDF的返回值拉低一点。 如果没有这一项，假如我们渲染一个球，球的边界上，就会是掠射角度，会特别亮。(看分子 菲涅尔项F(i,h) 返回值接近1，D(h) 的返回值也会很大，因为微表面法线分布基本是正态分布，又因为入射很平，半程向量很居中，微表面的数量是最多的，返回值就大。最终就造成BRDF返回值比较大，反射光的能量只会减少很少的两，因此边缘着色特别亮。)

这个微表面、glossy、diffuse、这那滴各种材质，都是渲染方程中的BRDF项 f_r

微表面模型渲染出来的效果特别真实

现在特别火的PBR——physically Based Rendering 就一定会使用微表面模型。为了更好的效果和表现，工业界有很多自己开发的不同种类的微表面模型，但是都是基于上面介绍的微表面模型搞出来的 核心是不变的。

5 各向同性/异性材质(BRDF)以及区分方式

电梯间的四周的材质是这种沿某方向磨过的金属，它的高光表现如下所示，这是种各项同性材质。

Isotropic Material：各向同性材质，各个方向法线分布是差不多的
Anisotropic Material：各项异性材质，各个方向法线分布是不同的，如沿着某个方向刷过的金属

这两种BRDF的区分方式：

• 各向同性材质：BRDF值只跟相对方位角有关，BRDF函数可以从四维降成三维
  • 什么意思？—— 对于各向同性材料，不管入射方位角 φ_i ，和出射方位角 φ_r ，怎么变化，只要这俩角度的相对差值 |φ_i - φ_r| 没变，那BRDF就不变，加绝对值是因为光的可逆性，下面公式也可以加上问题不大。
  • 具体来说，入射方向和出射方向的方位角同时绕着色点随便怎么转，只要 |φ_i - φ_r| 不变，BRDF返回值不会变，着色结果相同。
    
• 各项异性材质：绝对方位角(各自的φ)有关，只要任意一方的方位角改变，就会呈现比较大的差别

6 BRDF的性质总结

• （1）非负性：f_r(ω_i ->ω_r ) ≥ 0

• （2）线性：BRDF可以分成多项分别计算后相加(类似Blinn-Phong模型分成高光+漫发射+环境光)
  

• （3）可逆性：调换BRDF的入射光和出射光，返回值是一样的
  

• （4）能量守恒：不能违背能量守恒原则。下面公式，其实可以看做是半球上所有方向入射光的能量Li_总 的一个系数，这个系数必须满足 ≤ 1
  

• （5）各向异性/各向同性BRDF：不管是各项同性还是异性材质都遵循光的可逆性，互换出入射光，BRDF返回值不变。

  • 各向同性材质BRDF：跟出入射方位角无关，跟他们相对差值有关，因此四维BRDF函数变成三维。保持相对静止，方位角随便怎么旋转，BRDF返回值不变。
    
    并且满足光的可逆性，交换出入射光，数值不变；方位角也不用管谁大谁小。
    
  • 各向异性材质BRDF：跟绝对方位角有关。

7 测量BRDF的方式

前面对于BRDF的讨论都隐藏了BRDF的定义细节，相当于它还是个黑盒子，BRDF怎么定义的？
不通过实践测量的，用理论得出的BRDF函数都是耍流氓，是不准确的。像之前的菲涅尔项，就不准确，现实中的真正的效果并不是曲线描述的那样。

对一个材质的BRDF的测量，工作量非常大
测量过程： 固定光源在某一个入射角，用一个摄像机在整个球面的不同出射角进行拍摄，最终得出在这个入射角下对应的所有出射角的能量分布。然后再把光源换到另一个角度，重复此操作，直到光源遍历了球面所有角度为止。

从而得出一般测量方法：
入射出射方向可以互换

每移动一次光源，摄像机就要遍历整个球面，在移动光源，循环往复，效率还是很低的。
以下这几种情况，是可以提高效率的：

• 各向同性的材质，可以把4D降到3D的
• 由于光的可逆性，工作量可以减少一半
• 不用采样那么密集，就采样若干个点，其中间的点可以插值出来
• …还有很多方法，这里省略了

当前有关于测出来的庞大的BRDF数据如何存储的研究

• 神经网络压缩数据

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