计算机图形学【GAMES-101】10、材质(BRDF)(折射、菲涅尔项、微表面模型、各向异性材质)

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1、矩阵变换原理Transform(旋转、位移、缩放、正交投影、透视投影)
2、光栅化(反走样、傅里叶变换、卷积)
3、着色计算(深度缓存、着色模型、着色频率)
4、纹理映射(重心坐标插值、透视投影矫正、双线性插值MipMap、环境光遮蔽AO)
5、几何(距离函数SDF、点云、贝塞尔曲线、曲面细分、曲面简化)
6、阴影映射(Shadow Mapping)
7、光线追踪原理(线面求交、预处理光追加速)
8、辐射度量学与光线追踪
9、蒙特卡洛路径追踪(Path Tracing)(光源采样)
10、材质(BRDF)(折射、菲涅尔项、微表面模型、各向异性材质)
11、渲染前沿技术介绍(双向路径追踪BDPT、MLT、光子映射、实时辐射度、外观建模)
12、相机(视场、曝光、光圈(F-Stop)、薄棱镜近似、CoC、景深)
13、光场、颜色与感知
14、动画(物理模拟、质点弹簧系统、粒子系统、运动学、动作捕捉、欧拉方法)


Lec17

  • 1 自然界中的材质
  • 2 计算机图形学中的材质
    • 2.1 漫反射材质(BRDF)
    • 2.2 抛光/毛面金属材质(BRDF)
    • 2.3 完全镜面反射+折射材质(BRDF)
      • 2.3.1 镜面反射方向(立体角)计算
      • 2.3.2 折射方向计算
  • 3 菲涅尔项(Fresnel Term)
  • 4 微表面材质(Microfacet Material)
    • 4.1 微表面模型Microfacet Theory/Model
      • 4.1.1 微表面的 BRDF (双向反射分布函数 f(i,o))
  • 5 各向同性/异性材质(BRDF)以及区分方式
  • 6 BRDF的性质总结
  • 7 测量BRDF的方式
  • GAMES101图形学专栏

1 自然界中的材质

  • 首先了解自然界中的材质

    如上这幅图,不同的物体、场景、组合,会让我们看到不同的效果
    但是归根到底就一个核心:光线如何传播的,又是如何跟物体作用的。
    研究自然界中的材质,就是在研究光线如何传播

2 计算机图形学中的材质

由于渲染方程是几乎100%正确的,那么方程中一定有一项是描述材质的,材质 == BRDF
如下3D的由四边形组成的模型,右边是渲染后的图,表现为陶瓷杯,为啥就能看出是陶瓷? 因为在渲染方程中通过对BRDF函数的定义,使杯子表现了一定程度的镜面反射+漫反射,给人一种陶瓷感。

2.1 漫反射材质(BRDF)


漫反射的BRDF推导过程:

  • 假设入射光是均匀分布在半球上的并且处处相等,漫反射光也同入射光一样,均匀的分布,且处处相等。
  • 由能量守恒可以知道入射的照度Irradiance == 出射的Irradiance,并且入/出射都是均匀分布,那么他们任一单位立体角方向的通量即Radiance必须一样,即 Lo = Li 建立渲染方程如下:
  • 对cosθ在半球上的定积分结果为π,最终可得到完全不吸收能量的漫反射BRDF为:fr = 1 / π
  • 其中还定义了 ρ 反射率albedo,可以是单通道(0~1)、三通道(RGB),从而可以引入不同颜色的漫反射BRDF
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2.2 抛光/毛面金属材质(BRDF)

这种材质散射规律是在镜面反射方向附近,一小块区域进行均匀的散射,用代码实现的话也很简单,算出镜面反射方向(x,y,z),就以(x,y,z)为球心(圆心也行),随机在球内生成一个点,以反射点到这个点作为真的反射方向。这样的话,高一点的SPP下,就能够均匀的覆盖镜面反射方向附近的一块小区域了

2.3 完全镜面反射+折射材质(BRDF)

折射方向稍微难算一些,镜面反射方向简单。

这种材质与光的作用方式可分为射入射出(默认折射率η比空气大)

  • 从空气射入材质内部,则一定是镜面反射+折射同时发生
  • 如果从材质内部射入空气,则分两种情况
    • 镜面反射+折射
    • 不满足折射条件,仅镜面反射

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2.3.1 镜面反射方向(立体角)计算

立体角是用 天顶角θ方位角φ 来描述的

  • 反射立体角中的天顶角θ计算
    • 先画图,注意三个方向都是单位向量,入射出射角度相等
    • 根据平行四边形法则,可以构建方程解出出射方向向量:ωo
    • 解释一下:ωi + ωo = 2 · 红线向量,红线向量:cosθi · |ωi|。平行四边形最长的那根对角线长度2cosθi · |ωi| ,|ωi| = 1可以省略,即2cosθi,但这只是个标量,所以用这个标量乘以方向向量n,就得到对角线这一段向量为2cosθi · n ;角度θ用点乘算出。 最终得到下面等式,即可得到出射方向
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    • 还有一种方法理解起来也很容易:反射方向 = V + 2B
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这里其实可以看出来,计算镜面反射方向其实还是有那么点麻烦的吧,所以之前进行Blinn-Phong模型着色计算时,高光项判断出射方向是否足够接近镜面反射时,没有用镜面反射方向与出射方向做比较,而是用半程向量half vector跟法线n来比,半程向量计算非常简单:入射+出射然后单位化就行了。

  • 反射立体角中的方位角φ不用计算,他们必然在一个面上,并且相差180°,满足下面这个方程
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天顶角与方位角的出/入射角满足:

  • 方位角:φo = (φ + π)mod 2π
  • 天顶角:θi = θo

2.3.2 折射方向计算

光从一种介质进入到另一种介质就会发生折射。
第三幅图水底的这种现象称为caustics,这是由于水面凹凸不平,水底某些点会聚集较多的光线,有点聚焦的意思。
计算机图形学【GAMES-101】10、材质(BRDF)(折射、菲涅尔项、微表面模型、各向异性材质)_第7张图片计算机图形学【GAMES-101】10、材质(BRDF)(折射、菲涅尔项、微表面模型、各向异性材质)_第8张图片计算机图形学【GAMES-101】10、材质(BRDF)(折射、菲涅尔项、微表面模型、各向异性材质)_第9张图片
折射方向计算:
斯内尔定律(Snell’s Law): 给出了描述光从一种介质传播到另一种介质时是如何折射的方程:ηisinθi = ηtsinθt
必须知道两种材质的折射率η1,η2,和入射角度θi,然后能得到θt;再根据入射和出射的方位角关系公式,能算出φt。θt和φt组成ωt
计算机图形学【GAMES-101】10、材质(BRDF)(折射、菲涅尔项、微表面模型、各向异性材质)_第10张图片
折射发生的条件:

  • 光疏介质->光密介质:必然折射
  • 光密介质->光疏介质:根据入射角度大小,过大可能就没有折射而是全反射
    所以会有一个全反射和折射的临界角
  • 证明:
    由折射方程:ηisinθi = ηtsinθtsin2θ + cos2θ = 1可知
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  • 看根号内的式子(首先1-cos2θi < 1 恒成立)
    ηit < 1,根号下式子 > 0,等式有意义,必然发生折射 。
    ηit > 1,具体看1-cos2θi 的大小,如果入射角θi比较大,根号下式子可能会 < 0。

例子:水介质和光介质

  • 两个角度看这张图:
    (1)光从空气射入水中,可以明显看到,空气中不管角度多大都会发生折射
    (2)记住图形学中考虑问题都是摄像机发射光线,光线从水中射入空气,只能看到大概97.2°的一个锥形区域的光,角度再大一点就发生全反射了。所以超过这个锥形区域,其他地方的光都射向水底了,比较黑。

BRDF:双向反射分布函数,用于计算反射光的能量百分比
BTDF:双向透射分布函数,用于计算折射光的能量百分比
BRFD 和 BTDF 统称为双向散射分布函数BSDF(Bidirectional scattering distribution function)

一般生活中也可直接用BRDF,不区分BTDF BSDF

3 菲涅尔项(Fresnel Term)

反射率取决于入射角度,入射光与法线的夹角越大,反射的能量越多

  • 从书上反射出的光,射到桌面然后反弹到人眼中,如果入射光跟法线夹角比较小(左1),则几乎看不到桌面的倒影,即反射能量比较少;当入射光跟法线夹角特别大,几乎接近90°的时候,桌面会形成比较明显的书的倒影,也就是能量衰减得比较少。
    计算机图形学【GAMES-101】10、材质(BRDF)(折射、菲涅尔项、微表面模型、各向异性材质)_第13张图片
    入射角度与反射率关系曲线图
    • 绝缘体(非金属)
      可以看到如果一根光线跟法线几乎成90°的话,反射率几乎为1,没有能量损失
      虚线可以不看,这部分是偏振光的性质,实线是两个方向偏振光取平均的结果,看红实线即可
      计算机图形学【GAMES-101】10、材质(BRDF)(折射、菲涅尔项、微表面模型、各向异性材质)_第14张图片
  • 导体(金属物品)
    不管什么角度反射率都蛮高的
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    菲涅尔项的计算
    • 精确计算菲涅尔项(没有必要)
      求s、p偏振光的菲涅尔项,然后取两者的平均作为最终结果
      计算挺复杂,明白这玩意儿跟出/入射角度介质反射率η有关就行了
      计算机图形学【GAMES-101】10、材质(BRDF)(折射、菲涅尔项、微表面模型、各向异性材质)_第16张图片
    • 近似计算:Schlick’s approximation(性价比更高)
      • R(θ)函数,自变量θ为入射光线与法线夹角,定义域在[0°,90°],返回值为反射率,值域[0,1]
      • Schlick提出这个计算方式,其实就是重新拟合了一条曲线,近似的表现上面介绍的“入射角度与反射率关系曲线图”。R0就是入射光与法线夹角为0时的反射率。
      • 我们如果代入θ = 0,θ = 90,进去算很容易看出R(0) = R0,R(90) = 1 ,还是比较正确的。这个函数同时适用于导体和绝缘体。
      • n1,n2是两种介质的折射率
        计算机图形学【GAMES-101】10、材质(BRDF)(折射、菲涅尔项、微表面模型、各向异性材质)_第17张图片

在这里提到菲涅尔项的目的:引出微表面材质/模型

4 微表面材质(Microfacet Material)

研究微表面材质的动机是什么?—— 因为现实生活中,确实有这种现象存在

  • 如下,卫星拍摄的一幅图, 可以看到那一片高光,很神奇很不对劲,因为这是地球,地球表面是凹凸不平的,但是在目前的角度和距离下,这片高光的效果就跟它表面是个略有粗糙度的平面一样。
  • 只要当视角离得足够远,我们看不到表面的细节,只能看到光对该表面整体的作用结果

4.1 微表面模型Microfacet Theory/Model

对于看向一个粗糙表面

  • 宏观上:平坦且略有粗糙
  • 微观上:凹凸不平,且每个微元都认为只发生镜面反射

总之,要有这么一个概念:从近处看能看到不同的几何细节,拉远后细节消失,看到的是材质

为什么会发生漫反射?因为粗糙的物体表面在微观上可以看成超级多细小的镜子,他们的朝向/法线各不相同,他们会把光线反射到四面八方.

微表面BRDF

  • 对于glossy毛面的材质,微表面的法线方向其实差不多,
    计算机图形学【GAMES-101】10、材质(BRDF)(折射、菲涅尔项、微表面模型、各向异性材质)_第18张图片
    把他们的分布画出来,会集中在宏观的法线周围(宏观即不看微表面,镜头拉远后忽略细节,法线正直朝上)
    材质的效果如右图所示
    计算机图形学【GAMES-101】10、材质(BRDF)(折射、菲涅尔项、微表面模型、各向异性材质)_第19张图片计算机图形学【GAMES-101】10、材质(BRDF)(折射、菲涅尔项、微表面模型、各向异性材质)_第20张图片
  • 对于特别粗糙的材质,微表面法线分布图(左),渲染效果(右)
    计算机图形学【GAMES-101】10、材质(BRDF)(折射、菲涅尔项、微表面模型、各向异性材质)_第21张图片

所以,通过微表面理论,我们可以把表面的粗糙程度用 微表面的法线分布 来表示

  • 如果微表面法线分布集中 ==> glossy
  • 如果微表面法线分布分散 ==> diffuse

那么对于微表面而言,入射光 ωi 反射到 ωo 方向会有多少能量?

4.1.1 微表面的 BRDF (双向反射分布函数 f(i,o))

  • 注意:微观上对于表面任意一个点来说,是镜面反射
    计算机图形学【GAMES-101】10、材质(BRDF)(折射、菲涅尔项、微表面模型、各向异性材质)_第22张图片
  • F(i,h):Fresnel Term 菲涅尔项。给定入射方向 ωi 和半程向量h方向,返回反射方向的反射率,值域[0,1]
  • D(h) :Distribution of normals 微表面的法线分布。给定一个半程向量h,返回法线位于该方向的微表面数量
  • G(i,o,h):Shadowing Masking Term 阴影遮蔽,也叫几何项。 当入射光以非常平(Grazing Angle 掠射角度)的射向表面时,有些凸起的微表面就会遮挡住后面的微表面。这一项其实就起修正作用,当入射为掠射角度时,这一项可能就会返回一个比较小的数比如0.5 0.4之类的,把BRDF的返回值拉低一点。 如果没有这一项,假如我们渲染一个球,球的边界上,就会是掠射角度,会特别亮。(看分子 菲涅尔项F(i,h) 返回值接近1,D(h) 的返回值也会很大,因为微表面法线分布基本是正态分布,又因为入射很平,半程向量很居中,微表面的数量是最多的,返回值就大。最终就造成BRDF返回值比较大,反射光的能量只会减少很少的两,因此边缘着色特别亮。)

这个微表面、glossy、diffuse、这那滴各种材质,都是渲染方程中的BRDF项 fr

微表面模型渲染出来的效果特别真实

现在特别火的PBR——physically Based Rendering 就一定会使用微表面模型。为了更好的效果和表现,工业界有很多自己开发的不同种类的微表面模型,但是都是基于上面介绍的微表面模型搞出来的 核心是不变的。

5 各向同性/异性材质(BRDF)以及区分方式

电梯间的四周的材质是这种沿某方向磨过的金属,它的高光表现如下所示,这是种各项同性材质。

Isotropic Material:各向同性材质,各个方向法线分布是差不多的
Anisotropic Material:各项异性材质,各个方向法线分布是不同的,如沿着某个方向刷过的金属
计算机图形学【GAMES-101】10、材质(BRDF)(折射、菲涅尔项、微表面模型、各向异性材质)_第23张图片
这两种BRDF的区分方式:

  • 各向同性材质:BRDF值只跟相对方位角有关,BRDF函数可以从四维降成三维
    • 什么意思?—— 对于各向同性材料,不管入射方位角 φi ,和出射方位角 φr ,怎么变化,只要这俩角度的相对差值 i - φr| 没变,那BRDF就不变,加绝对值是因为光的可逆性,下面公式也可以加上问题不大。
    • 具体来说,入射方向和出射方向的方位角同时绕着色点随便怎么转,只要 i - φr| 不变,BRDF返回值不会变,着色结果相同。
      计算机图形学【GAMES-101】10、材质(BRDF)(折射、菲涅尔项、微表面模型、各向异性材质)_第24张图片
  • 各项异性材质:绝对方位角(各自的φ)有关,只要任意一方的方位角改变,就会呈现比较大的差别

计算机图形学【GAMES-101】10、材质(BRDF)(折射、菲涅尔项、微表面模型、各向异性材质)_第25张图片

6 BRDF的性质总结

  • (1)非负性fr(ωi ->ωr ) ≥ 0

  • (2)线性:BRDF可以分成多项分别计算后相加(类似Blinn-Phong模型分成高光+漫发射+环境光)
    计算机图形学【GAMES-101】10、材质(BRDF)(折射、菲涅尔项、微表面模型、各向异性材质)_第26张图片

  • (3)可逆性:调换BRDF的入射光和出射光,返回值是一样的
    计算机图形学【GAMES-101】10、材质(BRDF)(折射、菲涅尔项、微表面模型、各向异性材质)_第27张图片

  • (4)能量守恒:不能违背能量守恒原则。下面公式,其实可以看做是半球上所有方向入射光的能量Li 的一个系数,这个系数必须满足 ≤ 1
    计算机图形学【GAMES-101】10、材质(BRDF)(折射、菲涅尔项、微表面模型、各向异性材质)_第28张图片

  • (5)各向异性/各向同性BRDF:不管是各项同性还是异性材质都遵循光的可逆性,互换出入射光,BRDF返回值不变。

    • 各向同性材质BRDF:跟出入射方位角无关,跟他们相对差值有关,因此四维BRDF函数变成三维。保持相对静止,方位角随便怎么旋转,BRDF返回值不变。
      在这里插入图片描述
      并且满足光的可逆性,交换出入射光,数值不变;方位角也不用管谁大谁小。
      在这里插入图片描述
    • 各向异性材质BRDF:跟绝对方位角有关。

7 测量BRDF的方式

前面对于BRDF的讨论都隐藏了BRDF的定义细节,相当于它还是个黑盒子,BRDF怎么定义的?
不通过实践测量的,用理论得出的BRDF函数都是耍流氓,是不准确的。像之前的菲涅尔项,就不准确,现实中的真正的效果并不是曲线描述的那样。

对一个材质的BRDF的测量,工作量非常大
测量过程: 固定光源在某一个入射角,用一个摄像机在整个球面的不同出射角进行拍摄,最终得出在这个入射角下对应的所有出射角的能量分布。然后再把光源换到另一个角度,重复此操作,直到光源遍历了球面所有角度为止。
计算机图形学【GAMES-101】10、材质(BRDF)(折射、菲涅尔项、微表面模型、各向异性材质)_第29张图片
从而得出一般测量方法:
入射出射方向可以互换
计算机图形学【GAMES-101】10、材质(BRDF)(折射、菲涅尔项、微表面模型、各向异性材质)_第30张图片
每移动一次光源,摄像机就要遍历整个球面,在移动光源,循环往复,效率还是很低的。
以下这几种情况,是可以提高效率的:

  • 各向同性的材质,可以把4D降到3D的
  • 由于光的可逆性,工作量可以减少一半
  • 不用采样那么密集,就采样若干个点,其中间的点可以插值出来
  • …还有很多方法,这里省略了

当前有关于测出来的庞大的BRDF数据如何存储的研究

  • 神经网络压缩数据

GAMES101图形学专栏

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