搞懂欧拉角、旋转矩阵、四元数

之前一直用旋转矩阵的转换，或者直接从机械臂中导出四元数，最近需要看懂一篇文章里面的推导公式，特地记录一下各个概念。

1.1 roll（横滚）、pitch（俯仰） 、 yaw（偏航）

关于右手笛卡尔坐标系的 x、y 和 z 轴的主动旋转分别叫做 roll（横滚）、pitch（俯仰） 和 yaw（偏航） 旋转。（参考）

1.2内在旋转(intrinsic rotations)和外在旋转(extrinsic rotations)

这两个概念通过下图进行说明：即内在旋转每次旋转围绕的轴是上次旋转之后坐标系的某个轴，外在旋转每次旋转的轴是固定坐标系中的轴。

1.3旋转矩阵

主动旋转和被动旋转：主动旋转是指将向量或坐标系逆时针围绕旋转轴旋转，被动旋转是对坐标轴进行的逆时针旋转，相当于主动旋转的逆操作。
旋转矩阵有二维旋转和三维旋转，研究需要这里仅讨论三维旋转（被动旋转）。

假设OP为单位矢量且在XY平面内，则OP矢量在O-XYZ坐标系中坐标为，在新坐标系O-X’Y’Z’中的坐标为,展开之后为，写成矩阵的形式如下：
将上式中的3*3的变换矩阵称为旋转矩阵。从Fig. 3中可以看出，被动旋转相当于将矢量OP绕Z轴主动顺时针旋转θ角。

1.4 经典欧拉角(Proper Euler angles)和泰勒布莱恩角(Tait-Bryan angles)

这两种欧拉角是按照旋转轴的顺序定义的，经典欧拉角是按照Z-X-Z，Y-X-Y，X-Y-X，Z-Y-Z，X-Z-X，Y-Z-Y这样的轴序旋转，即第一个旋转轴和最后一个旋转轴相同；而泰勒布莱恩角是按照X-Y-Z，Y-Z-X，Z-X-Y，X-Z-Y，Z-Y-X，Y-X-Z这样的轴序旋转，即每次旋转轴都不相同。



欧拉角的表示方式比较直观，但是有几个缺点 ?（还没搞懂的知识）
(1) 欧拉角的表示方式不唯一。给定某个起始朝向和目标朝向，即使给定yaw、pitch、roll的顺序，也可以通过不同的yaw/pitch/roll的角度组合来表示所需的旋转。比如，同样的yaw-pitch-roll顺序，(0,90,0)和(90,90,90)会将刚体转到相同的位置。这其实主要是由于万向锁(Gimbal Lock)引起的
(2) 欧拉角的插值比较难。
(3) 计算旋转变换时，一般需要转换成旋转矩阵，这时候需要计算很多sin, cos，计算量较大。

举例表明

计算旋转矩阵一定要明确旋转顺序和旋转模式（内在旋转还是外在旋转，主动旋转还是被动旋转），由于内在旋转易于图解表达，通常使用内在旋转说明。如图4所示，旋转顺序为Z-X-Z的被动内在旋转。假设矢量OP在O-xyz坐标系中的坐标为OP0=（x, y, z）,在O-XYZ坐标系中的坐标为OP=（X, Y, Z）,分解计算步骤如下：

可以得到OP矢量在新坐标系中的坐标与在旧坐标系中的坐标之间的关系为 ，所以总的旋转矩阵为，采用Matlab的符号计算可以得到该旋转矩阵的展开形式。

1.5 四元数

四元数是简单的超复数。 复数是由实数加上虚数单位 i 组成，其中i²= -1。 相似地，四元数都是由实数加上三个虚数单位 i、j和k 组成，而且它们有如下的关系： i² = j² = k² = -1， iº = jº = kº = 1 , 每个四元数都是 1、i、j 和 k 的线性组合，即是四元数一般可表示为a + bi+ cj + dk，其中a、b、c 、d是实数。

对于i、j和k本身的几何意义可以理解为一种旋转，其中i旋转代表Z轴与Y轴相交平面中Z轴正向向Y轴正向的旋转，j旋转代表X轴与Z轴相交平面中X轴正向向Z轴正向的旋转，k旋转代表Y轴与X轴相交平面中Y轴正向向X轴正向的旋转，-i、-j、-k分别代表i、j、k旋转的反向旋转。

同时引入轴角的概念加以理解四元数的的四个数。轴角是一个以单位矢量定义的旋转轴，再加上一个标量定义的旋转角来表示的旋转。通常的表示为[x,y,z,theta]，前面三个表示轴，最后一个表示角度。表示非常直观，也很紧凑。但轴角最大的一个局限就是不能进行简单的插值，此外，轴角形式的旋转不能直接施于点或矢量，必须转换为矩阵或者四元数。

四元数感觉上就是轴角的进化，也是使用一个3维向量表示转轴和一个角度分量表示绕此转轴的旋转角度，即(x,y,z,w)（对应前文所述的a,b,c,d）， 其中

w = cos(theta/2)
x = ax * sin(theta/2)
y = ay * sin(theta/2)
z = az * sin(theta/2)

其中(ax,ay,az)表示轴的矢量，theta表示绕此轴的旋转角度。四元数中的每个数都是经过“处理”的轴和角，轴角描述的“四元组”并不是一个空间下的东西，首先（ax,ay,az）是一个3维坐标下的矢量，而theta则是级坐标下的角度，简单的将他们组合到一起并不能保证他们插值结果的稳定性，因为他们无法归一化，所以不能保证最终插值后得到的矢量长度（经过旋转变换后两点之间的距离）相等，而四元数在是在一个统一的4维空间中，方便归一化来插值，又能方便的得到轴、角这样用于3D图像的信息数据，所以用四元数再合适不过了。相比于矩阵，四元素也只要存储4个浮点数，优势很明显。

四元数的各种转换
四元数转欧拉角 [r1,r2,r3]=quat2angle([q0 q1 q2 q3]，S) 注：S 的选择有12种，【‘ZYX’,‘ZYZ’,‘ZXY’,‘ZXZ’,‘YXZ’,‘YXY’,‘YZX’,‘YZY’,‘XYZ’,‘XYX’,‘XZY’,‘XZX’】

参考资料：

https://yongqiang.blog.csdn.net/article/details/89195271
https://blog.csdn.net/zhwzhaowei/article/details/83688266
https://www.guyuehome.com/19226
https://baike.baidu.com/item/%E5%9B%9B%E5%85%83%E6%95%B0/5795379?fr=aladdin
https://blog.csdn.net/shenshen211/article/details/78492055