pcl 姿态变换 之 旋转平移

一、简介

最近在做一个点云的项目，姿态的变换是一个很重要的环节，从数学上需要彻底理解这些东西之前一直在使用，但是没有系统的总结过，接着2023年元旦的三天时间好好学习一下，然后在同事面前说自己是数学系的很丢人啊。这几天打算从下面几个方向上来做

1、旋转平移矩阵（2D和3D）

2、欧拉角

3、欧拉角和四元数的转换

4、SVD 矩阵分解

5、矩阵的伪逆

6、罗德里格斯公式

非常感谢这位老兄的博客，我们就是学习

旋转变换（一）旋转矩阵_csxiaoshui的博客-CSDN博客_旋转矩阵

二、2D旋转

1、旋转原理推导

 

 2、绕着一个定点旋转

上面说的是绕着原点O 来旋转的，那么如何将绕着一个定点R(x,y)来旋转呢，有如下步骤

1、将R点移动到原点O的位置

平移矩阵如下：

 2、绕着原点旋转

 3、将第一步平移的步骤也平移到原来的地方

那么最后的矩阵就是：

若绕着（2，2）点旋转angle=1/6*pi，

 matlab 验证：

>>  A=[1 0 2;0 1 2;0 0 1]

A =

     1     0     2
     0     1     2
     0     0     1

>> a=[1 0 -2;0 1 -2;0 0 1]

a =

     1     0    -2
     0     1    -2
     0     0     1

>> R=[cos(1/6*pi) -sin(1/6*pi) 0;sin(1/6*pi) cos(1/6*pi) 0;0 0 1]

R =

    0.8660   -0.5000         0
    0.5000    0.8660         0
         0         0    1.0000

>> M =A*R*a

M =

    0.8660   -0.5000    1.2679
    0.5000    0.8660   -0.7321
         0         0    1.0000

>> 

三、3D旋转

1、绕着x 轴旋转

2、绕着y 轴旋转

绕着y轴旋转，其平面是ZOX平面

3、绕着z 轴旋转

 记得在halcon中是旋转的顺序有大概12中之多，通常来说xyz和xyz以及zxy 的矩阵是不一样的，这里我们能使用matlab做个测试

angle=1/6*pi:

Rx=[1 0  0 0 ;
  0  cos(1/6*pi) -sin(1/6*pi) 0;
  0  sin(1/6*pi) cos(1/6*pi) 0;
  0 0  0 1]


Ry=[cos(1/6*pi)  0   sin(1/6*pi) 0;
   0 1 0 0 ;
 -sin(1/6*pi)  0  cos(1/6*pi) 0;
 0 0  0 1]



Rz=[cos(1/6*pi)  -sin(1/6*pi) 0  0;
sin(1/6*pi)  cos(1/6*pi)  0 0 ;
0  0  1 0;
0 0  0 1]

>> Rx=[1 0  0 0 ;0  cos(1/6*pi) -sin(1/6*pi) 0;0  sin(1/6*pi) cos(1/6*pi) 0;0 0  0 1]

Rx =

    1.0000         0         0         0
         0    0.8660   -0.5000         0
         0    0.5000    0.8660         0
         0         0         0    1.0000

>> Ry=[cos(1/6*pi)  0   sin(1/6*pi) 0; 0 1 0 0 ;-sin(1/6*pi)  0  cos(1/6*pi) 0;0 0  0 1]

Ry =

    0.8660         0    0.5000         0
         0    1.0000         0         0
   -0.5000         0    0.8660         0
         0         0         0    1.0000

>> Rz=[cos(1/6*pi)  -sin(1/6*pi) 0  0;sin(1/6*pi)  cos(1/6*pi)  0 0 ;0  0  1 0;0 0  0 1]

Rz =

    0.8660   -0.5000         0         0
    0.5000    0.8660         0         0
         0         0    1.0000         0
         0         0         0    1.0000

 C++程序：

Eigen::Matrix4f   RotateMatrix3D(int  axis,float  angle)
{
    // 使用eigen  定义一个单位矩阵
    Eigen::Matrix4f  _rotateMatrix = Eigen::Matrix4f::Identity();
    angle = angle / M_1_PI / 180;
    switch (axis)
    {
    case 0:  // 绕着x轴旋转
        _rotateMatrix(1, 1) = cos(angle);
        _rotateMatrix(1, 2) = -sin(angle);
        _rotateMatrix(2, 1) = sin(angle);
        _rotateMatrix(2, 2) = -cos(angle);
        cout << "绕着x轴旋转矩阵： " << endl;
        cout << _rotateMatrix << endl;
        break;
    case 1:  // 绕着x轴旋转
        _rotateMatrix(0, 0) = cos(angle );
        _rotateMatrix(0, 2) = sin(angle );
        _rotateMatrix(2, 0) = -sin(angle );
        _rotateMatrix(2, 2) = cos(angle );
        cout << "绕着y轴旋转矩阵： " << endl;
        cout << _rotateMatrix << endl;
        break;
    case 2:
        _rotateMatrix(0, 0) = cos(angle );
        _rotateMatrix(0, 1) = -sin(angle );
        _rotateMatrix(1, 0) = sin(angle);
        _rotateMatrix(1, 1) = cos(angle );
        cout << "绕着z轴旋转矩阵： " << endl;
        cout << _rotateMatrix << endl;
        break;
    default:
        break;
    }
    return _rotateMatrix;
}

四、3D绕任意轴旋转

绕任意轴旋转，我们可以将这个旋转分解为一些基本的旋转，然后旋转，案例如下：

我们将绕着U轴从P点旋转到Q点，求出Q点的坐标：

 1、将U轴旋转到XOZ平面

2、将U轴绕y轴旋转，使得U轴与Z轴重合

3、将Z 轴旋转

4、求2的逆过程，就是求逆矩阵

5、求步骤1的逆过程，求逆矩阵

详细过程：