机器学习算法与Python实践之 k均值聚类（k-means）

文章来源：http://blog.csdn.net/zouxy09/article/details/17589329 

        

        机器学习算法与Python实践这个系列主要是参考《机器学习实战》这本书。因为自己想学习Python，然后也想对一些机器学习算法加深下了解，所以就想通过Python来实现几个比较常用的机器学习算法。恰好遇见这本同样定位的书籍，所以就参考这本书的过程来学习了。

       机器学习中有两类的大问题，一个是分类，一个是聚类。分类是根据一些给定的已知类别标号的样本，训练某种学习机器，使它能够对未知类别的样本进行分类。这属于supervised learning（监督学习）。而聚类指事先并不知道任何样本的类别标号，希望通过某种算法来把一组未知类别的样本划分成若干类别，这在机器学习中被称作 unsupervised learning （无监督学习）。在本文中，我们关注其中一个比较简单的聚类算法：k-means算法。

 

一、k-means算法

       通常，人们根据样本间的某种距离或者相似性来定义聚类，即把相似的（或距离近的）样本聚为同一类，而把不相似的（或距离远的）样本归在其他类。

       我们以一个二维的例子来说明下聚类的目的。如下图左所示，假设我们的n个样本点分布在图中所示的二维空间。从数据点的大致形状可以看出它们大致聚为三个cluster，其中两个紧凑一些，剩下那个松散一些。我们的目的是为这些数据分组，以便能区分出属于不同的簇的数据，如果按照分组给它们标上不同的颜色，就是像下图右边的图那样：

       如果人可以看到像上图那样的数据分布，就可以轻松进行聚类。但我们怎么教会计算机按照我们的思维去做同样的事情呢？这里就介绍个集简单和经典于一身的k-means算法。

       k-means算法是一种很常见的聚类算法，它的基本思想是：通过迭代寻找k个聚类的一种划分方案，使得用这k个聚类的均值来代表相应各类样本时所得的总体误差最小。

       k-means算法的基础是最小误差平方和准则。其代价函数是：

       式中，μ_c(i)表示第i个聚类的均值。我们希望代价函数最小，直观的来说，各类内的样本越相似，其与该类均值间的误差平方越小，对所有类所得到的误差平方求和，即可验证分为k类时，各聚类是否是最优的。

      上式的代价函数无法用解析的方法最小化，只能有迭代的方法。k-means算法是将样本聚类成 k个簇（cluster），其中k是用户给定的，其求解过程非常直观简单，具体算法描述如下：

1、随机选取 k个聚类质心点

2、重复下面过程直到收敛  {

      对于每一个样例 i，计算其应该属于的类：

      对于每一个类 j，重新计算该类的质心：

}

      下图展示了对n个样本点进行K-means聚类的效果，这里k取2。

其伪代码如下：

********************************************************************

创建k个点作为初始的质心点（随机选择）

当任意一个点的簇分配结果发生改变时

       对数据集中的每一个数据点

              对每一个质心

                     计算质心与数据点的距离

              将数据点分配到距离最近的簇

       对每一个簇，计算簇中所有点的均值，并将均值作为质心

********************************************************************

 

二、Python实现

      我使用的Python是2.7.5版本的。附加的库有Numpy和Matplotlib。具体的安装和配置见前面的博文。在代码中已经有了比较详细的注释了。不知道有没有错误的地方，如果有，还望大家指正（每次的运行结果都有可能不同）。里面我写了个可视化结果的函数，但只能在二维的数据上面使用。直接贴代码：

kmeans.py

 #################################################
 # kmeans: k-means cluster
 # Author : zouxy
 # Date   : 2013-12-25
 # HomePage : http://blog.csdn.net/zouxy09
 # Email  : [email protected]
 #################################################

 from numpy import *
 import time
 import matplotlib.pyplot as plt


 # calculate Euclidean distance
 def euclDistance(vector1, vector2):
     return sqrt(sum(power(vector2 - vector1, 2)))

 # init centroids with random samples
 def initCentroids(dataSet, k):
     numSamples, dim = dataSet.shape
     centroids = zeros((k, dim))
     for i in range(k):
         index = int(random.uniform(0, numSamples))
         centroids[i, :] = dataSet[index, :]
     return centroids

 # k-means cluster
 def kmeans(dataSet, k):
     numSamples = dataSet.shape[0]
     # first column stores which cluster this sample belongs to,
     # second column stores the error between this sample and its centroid
     clusterAssment = mat(zeros((numSamples, 2)))
     clusterChanged = True

     ## step 1: init centroids
     centroids = initCentroids(dataSet, k)

     while clusterChanged:
         clusterChanged = False
         ## for each sample
         for i in xrange(numSamples):
             minDist  = 100000.0
             minIndex = 0
             ## for each centroid
             ## step 2: find the centroid who is closest
             for j in range(k):
                 distance = euclDistance(centroids[j, :], dataSet[i, :])
                 if distance < minDist:
                     minDist  = distance
                     minIndex = j

             ## step 3: update its cluster
             if clusterAssment[i, 0] != minIndex:
                 clusterChanged = True
                 clusterAssment[i, :] = minIndex, minDist**2

         ## step 4: update centroids
         for j in range(k):
             pointsInCluster = dataSet[nonzero(clusterAssment[:, 0].A == j)[0]]
             centroids[j, :] = mean(pointsInCluster, axis = 0)

     print 'Congratulations, cluster complete!'
     return centroids, clusterAssment

 # show your cluster only available with 2-D data
 def showCluster(dataSet, k, centroids, clusterAssment):
     numSamples, dim = dataSet.shape
     if dim != 2:
         print "Sorry! I can not draw because the dimension of your data is not 2!"
         return 1

     mark = ['or', 'ob', 'og', 'ok', '^r', '+r', 'sr', 'dr', ', 'pr']
     if k > len(mark):
         print "Sorry! Your k is too large! please contact Zouxy"
         return 1

     # draw all samples
     for i in xrange(numSamples):
         markIndex = int(clusterAssment[i, 0])
         plt.plot(dataSet[i, 0], dataSet[i, 1], mark[markIndex])

     mark = ['Dr', 'Db', 'Dg', 'Dk', '^b', '+b', 'sb', 'db', ', 'pb']
     # draw the centroids
     for i in range(k):
         plt.plot(centroids[i, 0], centroids[i, 1], mark[i], markersize = 12)

     plt.show()

三、测试结果

      测试数据是二维的，共80个样本。有4个类。如下：

testSet.txt

 1.658985    4.285136
 -3.453687   3.424321
 4.838138    -1.151539
 -5.379713   -3.362104
 0.972564    2.924086
 -3.567919   1.531611
 0.450614    -3.302219
 -3.487105   -1.724432
 2.668759    1.594842
 -3.156485   3.191137
 3.165506    -3.999838
 -2.786837   -3.099354
 4.208187    2.984927
 -2.123337   2.943366
 0.704199    -0.479481
 -0.392370   -3.963704
 2.831667    1.574018
 -0.790153   3.343144
 2.943496    -3.357075
 -3.195883   -2.283926
 2.336445    2.875106
 -1.786345   2.554248
 2.190101    -1.906020
 -3.403367   -2.778288
 1.778124    3.880832
 -1.688346   2.230267
 2.592976    -2.054368
 -4.007257   -3.207066
 2.257734    3.387564
 -2.679011   0.785119
 0.939512    -4.023563
 -3.674424   -2.261084
 2.046259    2.735279
 -3.189470   1.780269
 4.372646    -0.822248
 -2.579316   -3.497576
 1.889034    5.190400
 -0.798747   2.185588
 2.836520    -2.658556
 -3.837877   -3.253815
 2.096701    3.886007
 -2.709034   2.923887
 3.367037    -3.184789
 -2.121479   -4.232586
 2.329546    3.179764
 -3.284816   3.273099
 3.091414    -3.815232
 -3.762093   -2.432191
 3.542056    2.778832
 -1.736822   4.241041
 2.127073    -2.983680
 -4.323818   -3.938116
 3.792121    5.135768
 -4.786473   3.358547
 2.624081    -3.260715
 -4.009299   -2.978115
 2.493525    1.963710
 -2.513661   2.642162
 1.864375    -3.176309
 -3.171184   -3.572452
 2.894220    2.489128
 -2.562539   2.884438
 3.491078    -3.947487
 -2.565729   -2.012114
 3.332948    3.983102
 -1.616805   3.573188
 2.280615    -2.559444
 -2.651229   -3.103198
 2.321395    3.154987
 -1.685703   2.939697
 3.031012    -3.620252
 -4.599622   -2.185829
 4.196223    1.126677
 -2.133863   3.093686
 4.668892    -2.562705
 -2.793241   -2.149706
 2.884105    3.043438
 -2.967647   2.848696
 4.479332    -1.764772
 -4.905566   -2.911070

测试代码：

test_kmeans.py

 #################################################
 # kmeans: k-means cluster
 # Author : zouxy
 # Date   : 2013-12-25
 # HomePage : http://blog.csdn.net/zouxy09
 # Email  : [email protected]
 #################################################

 from numpy import *
 import time
 import matplotlib.pyplot as plt

 ## step 1: load data
 print "step 1: load data..."
 dataSet = []
 fileIn = open('E:/Python/Machine Learning in Action/testSet.txt')
 for line in fileIn.readlines():
     lineArr = line.strip().split('\t')
     dataSet.append([float(lineArr[0]), float(lineArr[1])])

 ## step 2: clustering...
 print "step 2: clustering..."
 dataSet = mat(dataSet)
 k = 4
 centroids, clusterAssment = kmeans(dataSet, k)

 ## step 3: show the result
 print "step 3: show the result..."
 showCluster(dataSet, k, centroids, clusterAssment)

运行的前后结果是：

不同的类用不同的颜色来表示，其中的大菱形是对应类的均值质心点。

 

四、算法分析

       k-means算法比较简单，但也有几个比较大的缺点：

（1）k值的选择是用户指定的，不同的k得到的结果会有挺大的不同，如下图所示，左边是k=3的结果，这个就太稀疏了，蓝色的那个簇其实是可以再划分成两个簇的。而右图是k=5的结果，可以看到红色菱形和蓝色菱形这两个簇应该是可以合并成一个簇的：

（2）对k个初始质心的选择比较敏感，容易陷入局部最小值。例如，我们上面的算法运行的时候，有可能会得到不同的结果，如下面这两种情况。K-means也是收敛了，只是收敛到了局部最小值：

（3）存在局限性，如下面这种非球状的数据分布就搞不定了：

（4）数据库比较大的时候，收敛会比较慢。

       k-means老早就出现在江湖了。所以以上的这些不足也被世人的目光敏锐的捕捉到，并融入世人的智慧进行了某种程度上的改良。例如问题（1）对k的选择可以先用一些算法分析数据的分布，如重心和密度等，然后选择合适的k。而对问题（2），有人提出了另一个成为二分k均值（bisecting k-means）算法，它对初始的k个质心的选择就不太敏感，这个算法我们下一个博文再分析和实现。

 

五、参考文献

[1] K-means聚类算法

[2] 漫谈 Clustering (1): k-means

 

        机器学习算法与Python实践这个系列主要是参考《机器学习实战》这本书。因为自己想学习Python，然后也想对一些机器学习算法加深下了解，所以就想通过Python来实现几个比较常用的机器学习算法。恰好遇见这本同样定位的书籍，所以就参考这本书的过程来学习了。

       机器学习中有两类的大问题，一个是分类，一个是聚类。分类是根据一些给定的已知类别标号的样本，训练某种学习机器，使它能够对未知类别的样本进行分类。这属于supervised learning（监督学习）。而聚类指事先并不知道任何样本的类别标号，希望通过某种算法来把一组未知类别的样本划分成若干类别，这在机器学习中被称作 unsupervised learning （无监督学习）。在本文中，我们关注其中一个比较简单的聚类算法：k-means算法。

 

一、k-means算法

       通常，人们根据样本间的某种距离或者相似性来定义聚类，即把相似的（或距离近的）样本聚为同一类，而把不相似的（或距离远的）样本归在其他类。

       我们以一个二维的例子来说明下聚类的目的。如下图左所示，假设我们的n个样本点分布在图中所示的二维空间。从数据点的大致形状可以看出它们大致聚为三个cluster，其中两个紧凑一些，剩下那个松散一些。我们的目的是为这些数据分组，以便能区分出属于不同的簇的数据，如果按照分组给它们标上不同的颜色，就是像下图右边的图那样：

       如果人可以看到像上图那样的数据分布，就可以轻松进行聚类。但我们怎么教会计算机按照我们的思维去做同样的事情呢？这里就介绍个集简单和经典于一身的k-means算法。

       k-means算法是一种很常见的聚类算法，它的基本思想是：通过迭代寻找k个聚类的一种划分方案，使得用这k个聚类的均值来代表相应各类样本时所得的总体误差最小。

       k-means算法的基础是最小误差平方和准则。其代价函数是：

       式中，μ_c(i)表示第i个聚类的均值。我们希望代价函数最小，直观的来说，各类内的样本越相似，其与该类均值间的误差平方越小，对所有类所得到的误差平方求和，即可验证分为k类时，各聚类是否是最优的。

      上式的代价函数无法用解析的方法最小化，只能有迭代的方法。k-means算法是将样本聚类成 k个簇（cluster），其中k是用户给定的，其求解过程非常直观简单，具体算法描述如下：

1、随机选取 k个聚类质心点

2、重复下面过程直到收敛  {

      对于每一个样例 i，计算其应该属于的类：

      对于每一个类 j，重新计算该类的质心：

}

      下图展示了对n个样本点进行K-means聚类的效果，这里k取2。

其伪代码如下：

********************************************************************

创建k个点作为初始的质心点（随机选择）

当任意一个点的簇分配结果发生改变时

       对数据集中的每一个数据点

              对每一个质心

                     计算质心与数据点的距离

              将数据点分配到距离最近的簇

       对每一个簇，计算簇中所有点的均值，并将均值作为质心

********************************************************************

 

二、Python实现

      我使用的Python是2.7.5版本的。附加的库有Numpy和Matplotlib。具体的安装和配置见前面的博文。在代码中已经有了比较详细的注释了。不知道有没有错误的地方，如果有，还望大家指正（每次的运行结果都有可能不同）。里面我写了个可视化结果的函数，但只能在二维的数据上面使用。直接贴代码：

kmeans.py

 #################################################
 # kmeans: k-means cluster
 # Author : zouxy
 # Date   : 2013-12-25
 # HomePage : http://blog.csdn.net/zouxy09
 # Email  : [email protected]
 #################################################

 from numpy import *
 import time
 import matplotlib.pyplot as plt


 # calculate Euclidean distance
 def euclDistance(vector1, vector2):
     return sqrt(sum(power(vector2 - vector1, 2)))

 # init centroids with random samples
 def initCentroids(dataSet, k):
     numSamples, dim = dataSet.shape
     centroids = zeros((k, dim))
     for i in range(k):
         index = int(random.uniform(0, numSamples))
         centroids[i, :] = dataSet[index, :]
     return centroids

 # k-means cluster
 def kmeans(dataSet, k):
     numSamples = dataSet.shape[0]
     # first column stores which cluster this sample belongs to,
     # second column stores the error between this sample and its centroid
     clusterAssment = mat(zeros((numSamples, 2)))
     clusterChanged = True

     ## step 1: init centroids
     centroids = initCentroids(dataSet, k)

     while clusterChanged:
         clusterChanged = False
         ## for each sample
         for i in xrange(numSamples):
             minDist  = 100000.0
             minIndex = 0
             ## for each centroid
             ## step 2: find the centroid who is closest
             for j in range(k):
                 distance = euclDistance(centroids[j, :], dataSet[i, :])
                 if distance < minDist:
                     minDist  = distance
                     minIndex = j

             ## step 3: update its cluster
             if clusterAssment[i, 0] != minIndex:
                 clusterChanged = True
                 clusterAssment[i, :] = minIndex, minDist**2

         ## step 4: update centroids
         for j in range(k):
             pointsInCluster = dataSet[nonzero(clusterAssment[:, 0].A == j)[0]]
             centroids[j, :] = mean(pointsInCluster, axis = 0)

     print 'Congratulations, cluster complete!'
     return centroids, clusterAssment

 # show your cluster only available with 2-D data
 def showCluster(dataSet, k, centroids, clusterAssment):
     numSamples, dim = dataSet.shape
     if dim != 2:
         print "Sorry! I can not draw because the dimension of your data is not 2!"
         return 1

     mark = ['or', 'ob', 'og', 'ok', '^r', '+r', 'sr', 'dr', ', 'pr']
     if k > len(mark):
         print "Sorry! Your k is too large! please contact Zouxy"
         return 1

     # draw all samples
     for i in xrange(numSamples):
         markIndex = int(clusterAssment[i, 0])
         plt.plot(dataSet[i, 0], dataSet[i, 1], mark[markIndex])

     mark = ['Dr', 'Db', 'Dg', 'Dk', '^b', '+b', 'sb', 'db', ', 'pb']
     # draw the centroids
     for i in range(k):
         plt.plot(centroids[i, 0], centroids[i, 1], mark[i], markersize = 12)

     plt.show()

三、测试结果

      测试数据是二维的，共80个样本。有4个类。如下：

testSet.txt

 1.658985    4.285136
 -3.453687   3.424321
 4.838138    -1.151539
 -5.379713   -3.362104
 0.972564    2.924086
 -3.567919   1.531611
 0.450614    -3.302219
 -3.487105   -1.724432
 2.668759    1.594842
 -3.156485   3.191137
 3.165506    -3.999838
 -2.786837   -3.099354
 4.208187    2.984927
 -2.123337   2.943366
 0.704199    -0.479481
 -0.392370   -3.963704
 2.831667    1.574018
 -0.790153   3.343144
 2.943496    -3.357075
 -3.195883   -2.283926
 2.336445    2.875106
 -1.786345   2.554248
 2.190101    -1.906020
 -3.403367   -2.778288
 1.778124    3.880832
 -1.688346   2.230267
 2.592976    -2.054368
 -4.007257   -3.207066
 2.257734    3.387564
 -2.679011   0.785119
 0.939512    -4.023563
 -3.674424   -2.261084
 2.046259    2.735279
 -3.189470   1.780269
 4.372646    -0.822248
 -2.579316   -3.497576
 1.889034    5.190400
 -0.798747   2.185588
 2.836520    -2.658556
 -3.837877   -3.253815
 2.096701    3.886007
 -2.709034   2.923887
 3.367037    -3.184789
 -2.121479   -4.232586
 2.329546    3.179764
 -3.284816   3.273099
 3.091414    -3.815232
 -3.762093   -2.432191
 3.542056    2.778832
 -1.736822   4.241041
 2.127073    -2.983680
 -4.323818   -3.938116
 3.792121    5.135768
 -4.786473   3.358547
 2.624081    -3.260715
 -4.009299   -2.978115
 2.493525    1.963710
 -2.513661   2.642162
 1.864375    -3.176309
 -3.171184   -3.572452
 2.894220    2.489128
 -2.562539   2.884438
 3.491078    -3.947487
 -2.565729   -2.012114
 3.332948    3.983102
 -1.616805   3.573188
 2.280615    -2.559444
 -2.651229   -3.103198
 2.321395    3.154987
 -1.685703   2.939697
 3.031012    -3.620252
 -4.599622   -2.185829
 4.196223    1.126677
 -2.133863   3.093686
 4.668892    -2.562705
 -2.793241   -2.149706
 2.884105    3.043438
 -2.967647   2.848696
 4.479332    -1.764772
 -4.905566   -2.911070

测试代码：

test_kmeans.py

 #################################################
 # kmeans: k-means cluster
 # Author : zouxy
 # Date   : 2013-12-25
 # HomePage : http://blog.csdn.net/zouxy09
 # Email  : [email protected]
 #################################################

 from numpy import *
 import time
 import matplotlib.pyplot as plt

 ## step 1: load data
 print "step 1: load data..."
 dataSet = []
 fileIn = open('E:/Python/Machine Learning in Action/testSet.txt')
 for line in fileIn.readlines():
     lineArr = line.strip().split('\t')
     dataSet.append([float(lineArr[0]), float(lineArr[1])])

 ## step 2: clustering...
 print "step 2: clustering..."
 dataSet = mat(dataSet)
 k = 4
 centroids, clusterAssment = kmeans(dataSet, k)

 ## step 3: show the result
 print "step 3: show the result..."
 showCluster(dataSet, k, centroids, clusterAssment)

运行的前后结果是：

不同的类用不同的颜色来表示，其中的大菱形是对应类的均值质心点。

 

四、算法分析

       k-means算法比较简单，但也有几个比较大的缺点：

（1）k值的选择是用户指定的，不同的k得到的结果会有挺大的不同，如下图所示，左边是k=3的结果，这个就太稀疏了，蓝色的那个簇其实是可以再划分成两个簇的。而右图是k=5的结果，可以看到红色菱形和蓝色菱形这两个簇应该是可以合并成一个簇的：

（2）对k个初始质心的选择比较敏感，容易陷入局部最小值。例如，我们上面的算法运行的时候，有可能会得到不同的结果，如下面这两种情况。K-means也是收敛了，只是收敛到了局部最小值：

（3）存在局限性，如下面这种非球状的数据分布就搞不定了：

（4）数据库比较大的时候，收敛会比较慢。

       k-means老早就出现在江湖了。所以以上的这些不足也被世人的目光敏锐的捕捉到，并融入世人的智慧进行了某种程度上的改良。例如问题（1）对k的选择可以先用一些算法分析数据的分布，如重心和密度等，然后选择合适的k。而对问题（2），有人提出了另一个成为二分k均值（bisecting k-means）算法，它对初始的k个质心的选择就不太敏感，这个算法我们下一个博文再分析和实现。

 

五、参考文献

[1] K-means聚类算法

[2] 漫谈 Clustering (1): k-means