线性代数之——四个基本子空间

1. 四个基本子空间

• 行空间 $C(A^T)$，一个 $R^n$ 的子空间，由所有行的线性组合构成，维数为 $r$
• 列空间 $C(A)$，一个 $R^m$ 的子空间，由所有列的线性组合构成，维数为 $r$
• 零空间 $N(A)$，一个 $R^n$ 的子空间，由所有 $Ax=0$ 的解的线性组合构成，维数为 $n-r$
• 左零空间 $N(A^T)$，一个 $R^m$ 的子空间，由所有 $A^{T}y=0$ 或者 $y^{T}A=0^T$ 的解的线性组合构成，维数为 $m-r$

2. $R$ 的四个基本子空间

假设 $A$ 的最简行阶梯形式为 $R$，我们可以很容易地从 $R$ 找到四个子空间。

矩阵 $R$ 中有两个主元，因此其秩为 2。

行空间的维数等于秩，为 2，其中一个基可以取 $R$ 的前两行。

列空间的维数等于秩，为 2，主元所在的列为第一列和第四列，因此其中一个基为 $R$ 中对应的两列。

零空间的维数等于 $n-r$，为 3，有三个自由变量，因此对应着三个特解，它们就是零空间的一个基。

左零空间寻找的是 $R$ 的行的线性组合来产生一个零向量。

显而易见，$y_1$ 和 $y_2$ 必须为 0，而 $y_3$ 可以取任意值。左零空间的一个基为 (0, 0, 1)，维数为 $m-r=1$。

2. $A$ 的四个基本子空间

$R$ 和 $A$ 有着相同的行空间、维数 $r$ 和基。

$$EA=RA=E^{-1}R$$

由矩阵乘法可知，$R$ 的每一行都是对 $A$ 的行的线性组合，而且 $A$ 的每一行也都是对 $R$ 的行的线性组合。因此，消元只是改变了行，并没有改变行空间。

$Ax=0$ 当且仅当 $Rx=0$，它们的 $r$ 个主列都是不相关的，它们的列空间维数都为 $r$。

其中 $A$ 的列可以看作是对 $E^{-1}$ 的列的线性组合，因此 $A$ 和 $E^{-1}$ 有着相同的列空间。

$R$ 和 $A$ 有着相同的零空间、维数和基，因为消元并不改变方程组的解。

$A$ 的左零空间维数为 $m-r$。

因为 $R$ 的最后 $m-r$ 行为全零行，也就是 $E$ 中最后 $m-r$ 行对 $A$ 的行的线性组合产生了零向量，因此它们是左零空间的一个基。

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