二次型:什么叫二次型?它是一个多元函数,每一个变量累积的次数为2次。即n个变量的一个二次齐次多项式
f ( x 1 , x 2 , . . . , x n ) = ∑ i = 1 n ∑ j = 1 n a i j x i x j = x T A x f(x_1,x_2,...,x_n) = \sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{n} a_{ij}x_{i}x_j = x^TAx f(x1,x2,...,xn)=i=1∑nj=1∑naijxixj=xTAx
平方项系数在主对角线上,混合项的系数在除2在对角线对称的地方。
标准形:只有二次型的平方项,而不存在混合项。
规范形:标准形的平方项系数只有+1,-1或者0,则称为二次型的规范形。
正惯性指数:标准形里面正平方项的个数,记作p
负惯性指数:标准形里面负平方项的个数,记作q
二次型的秩:也就是矩阵A的秩。
r ( f ) = r ( A ) = p + q r(f) = r(A) = p+q r(f)=r(A)=p+q
坐标变换:将通过y来表示x。可以写成方程组的形式:
注意,这里的C矩阵的行列式不能等于0
不过一般不写成方程组,一般写成矩阵乘法的形式
再写得简单一点,可以写成
x = C y x = Cy x=Cy
其中,C是可逆矩阵。
例子:下面的方程组不是坐标变换
{ y 1 = x 1 + x 2 y 2 = x 2 − x 3 y 3 = x 1 + x 3 \left\{ \begin{aligned} y_1 & =x_1 + x_2 \\ y_2 & = x_2-x_3 \\ y_3 & = x_1 + x_3 \end{aligned} \right. ⎩ ⎨ ⎧y1y2y3=x1+x2=x2−x3=x1+x3
因为行列式C = 0
矩阵合同:经过坐标变换,A和B合同。
反身性:A和A自己合同
对称性:A合同B,则B合同A
传递性:A合同B,B合同C,则A合同C
充要条件:两个矩阵合同,它们的充要条件是正惯性指数相同,负惯性指数相同。(即特征值的符号相同)
A 合同 B < = > P A = P B 且 q A = q B A 合同B <=> P_A = P_B 且 q_A = q_B A合同B<=>PA=PB且qA=qB
定理1:对于任一n元二次型f = xTAx,存在正交变换(配方法就不行)x=Qy,其中Q是正交阵,使得二次型f化为标准形
Q − 1 A Q = Q T A Q = A 的对角矩阵 = λ 1 y 1 2 + λ 2 y 2 2 Q^{-1}AQ = Q^TAQ = A的对角矩阵 = λ_1y_1^{2} + λ_2y_2^2 Q−1AQ=QTAQ=A的对角矩阵=λ1y12+λ2y22
此时A和它的对角矩阵,既相似,又合同
定理2:任意给定一个实对称矩阵A, 一定存在可逆矩阵C, 使得CTAC为对角矩阵.
惯性定理:一个二次型f = xTAx经过坐标变换后转成标准形,它的正惯性指数和负惯性指数都是一样的。
求坐标变换 == 求Q矩阵 == 求A的特征向量 == 是不是要单位向量,正交垂直
任何一个二次型也可以通过配方法,实现化成标准形。用坐标变换,把标准形化成规范形。
给出二次型,写出对应的二次型矩阵
注意对称性,系数除2
用配方法化二次型
把所有含x的项配成一个完全平方,从x1开始配。引入新变量后得到f的标准形
用正交变化化 二次型 为标准形
给出二次型,求对应的正惯性指数
写出二次型矩阵A,计算特征行列式|λE - A|=0,求特征值λ。根据特征值的正负个数求得。
或根据配方法得到的标准形看出正负惯性指数。
给出矩阵A,判断与之合同的矩阵B
AB合同,则正负惯性指数相同。
理解:只要x不等于0,二次型一定严格大于0
判定矩阵的正定性:计算所有的特征值>0即可。
可逆线性变换 不会改变 二次型的正定性
f 正定的充要条件:
f 正定的 必要条件
配方法和下一个正交变化都是化标准型的方法。
椭球面、单叶双曲面 及 双叶双曲面的惯性指数的符号差分别为 3、1、-1.
如果符号差为2,则代表是柱面。
假设需要证明 A T A 是正定矩阵 A^T A是正定矩阵 ATA是正定矩阵
第一步:证对称
注意:正定矩阵是二次型的对应矩阵,须先证明对称。
即先说明:这个矩阵的转置是它自己
( A T A ) T = A T ( A T ) T = A T A (A^T A)^T = A^T(A^T)^T = A^T A (ATA)T=AT(AT)T=ATA
第二步:根据矩阵是否抽象,选择不同的方式: