【考研线代】六. 二次型

文章目录

  • 第六章 二次型
    • 6.1 二次型及其标准形
      • 6.1.1 概念
      • 6.1.2 合同基本性质
      • 6.1.3 题型
    • 6.2 正定二次型
      • 6.2.1 概念
      • 6.2.2 定理
    • 6.3 补充:解题技巧
      • 6.3.1 惯性定理的理解
      • 6.3.2 矩阵合同的充要条件
      • 6.3.3 配方法的坐标变换必须可逆
      • 6.3.3 正交变化化标准型 (难)
      • 6.3.4 求二次型对应的矩阵
      • 6.3.5 曲面集合
        • 柱面
        • 单叶双曲面
        • 双叶双曲面
        • 辅助记忆
      • 6.3.6 证明XX矩阵是正定矩阵

第六章 二次型

6.1 二次型及其标准形

6.1.1 概念

二次型:什么叫二次型?它是一个多元函数,每一个变量累积的次数为2次。即n个变量的一个二次齐次多项式

在这里插入图片描述
f ( x 1 , x 2 , . . . , x n ) = ∑ i = 1 n ∑ j = 1 n a i j x i x j = x T A x f(x_1,x_2,...,x_n) = \sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{n} a_{ij}x_{i}x_j = x^TAx f(x1,x2,...,xn)=i=1nj=1naijxixj=xTAx
平方项系数在主对角线上,混合项的系数在除2在对角线对称的地方。

标准形:只有二次型的平方项,而不存在混合项。

规范形:标准形的平方项系数只有+1,-1或者0,则称为二次型的规范形。

【考研线代】六. 二次型_第1张图片

正惯性指数:标准形里面正平方项的个数,记作p

负惯性指数:标准形里面负平方项的个数,记作q

【考研线代】六. 二次型_第2张图片

二次型的秩:也就是矩阵A的秩。
r ( f ) = r ( A ) = p + q r(f) = r(A) = p+q r(f)=r(A)=p+q
坐标变换:将通过y来表示x。可以写成方程组的形式:

【考研线代】六. 二次型_第3张图片

注意,这里的C矩阵的行列式不能等于0

不过一般不写成方程组,一般写成矩阵乘法的形式

【考研线代】六. 二次型_第4张图片

再写得简单一点,可以写成
x = C y x = Cy x=Cy
其中,C是可逆矩阵。

例子:下面的方程组不是坐标变换
{ y 1 = x 1 + x 2 y 2 = x 2 − x 3 y 3 = x 1 + x 3 \left\{ \begin{aligned} y_1 & =x_1 + x_2 \\ y_2 & = x_2-x_3 \\ y_3 & = x_1 + x_3 \end{aligned} \right. y1y2y3=x1+x2=x2x3=x1+x3
因为行列式C = 0

矩阵合同:经过坐标变换,A和B合同。

【考研线代】六. 二次型_第5张图片

6.1.2 合同基本性质

  • 反身性:A和A自己合同

  • 对称性:A合同B,则B合同A

  • 传递性:A合同B,B合同C,则A合同C

  • 充要条件:两个矩阵合同,它们的充要条件是正惯性指数相同,负惯性指数相同。(即特征值的符号相同

A 合同 B < = > P A = P B 且 q A = q B A 合同B <=> P_A = P_B 且 q_A = q_B A合同B<=>PA=PBqA=qB

  • 定理1:对于任一n元二次型f = xTAx,存在正交变换(配方法就不行)x=Qy,其中Q是正交阵,使得二次型f化为标准形
    Q − 1 A Q = Q T A Q = A 的对角矩阵 = λ 1 y 1 2 + λ 2 y 2 2 Q^{-1}AQ = Q^TAQ = A的对角矩阵 = λ_1y_1^{2} + λ_2y_2^2 Q1AQ=QTAQ=A的对角矩阵=λ1y12+λ2y22
    此时A和它的对角矩阵,既相似,又合同

  • 定理2:任意给定一个实对称矩阵A, 一定存在可逆矩阵C, 使得CTAC为对角矩阵.

    • 配方法,不会考太难
    • 正交变换法:较难
  • 惯性定理:一个二次型f = xTAx经过坐标变换后转成标准形,它的正惯性指数和负惯性指数都是一样的。

求坐标变换 == 求Q矩阵 == 求A的特征向量 == 是不是要单位向量,正交垂直

任何一个二次型也可以通过配方法,实现化成标准形。用坐标变换,把标准形化成规范形。

6.1.3 题型

  • 给出二次型,写出对应的二次型矩阵

    注意对称性,系数除2

  • 用配方法化二次型

    把所有含x的项配成一个完全平方,从x1开始配。引入新变量后得到f的标准形

  • 用正交变化化 二次型 为标准形

    1. 写出二次型矩阵A
    2. 求A的特征值,代入特征值得到对应的特征向量
    3. 改造特征向量γ1,γ2,γ3(正交化,单位化)
    4. 构建正交矩阵Q = (γ1,γ2,γ3)
  • 给出二次型,求对应的正惯性指数

    • 写出二次型矩阵A,计算特征行列式|λE - A|=0,求特征值λ。根据特征值的正负个数求得。

    • 或根据配方法得到的标准形看出正负惯性指数。

  • 给出矩阵A,判断与之合同的矩阵B

    AB合同,则正负惯性指数相同。

6.2 正定二次型

6.2.1 概念

【考研线代】六. 二次型_第6张图片

理解:只要x不等于0,二次型一定严格大于0

6.2.2 定理

  1. 判定矩阵的正定性:计算所有的特征值>0即可。

    【考研线代】六. 二次型_第7张图片

  2. 可逆线性变换 不会改变 二次型的正定性

  3. f 正定的充要条件

    • A的正惯性指数 p = n
    • A和单位矩阵E合同
    • A = DTD ,其中D是一个可逆的矩阵
    • A的全部特征值 > 0
    • A的全部顺序主子式 > 0
  4. f 正定的 必要条件

    • A的主对角元素 aii > 0
    • A的行列式 |A| > 0

6.3 补充:解题技巧

6.3.1 惯性定理的理解

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6.3.2 矩阵合同的充要条件

【考研线代】六. 二次型_第9张图片
【考研线代】六. 二次型_第10张图片

6.3.3 配方法的坐标变换必须可逆

配方法和下一个正交变化都是化标准型的方法。

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6.3.3 正交变化化标准型 (难)

  1. 二次型f(x) 转化成 二次型矩阵A
  2. 求二次型矩阵对应的特征值 λ1、λ2、λ3。
    可以使用|λE - A|=0
  3. 把特征值凑成一个对称阵
  4. 反代得到对应的
    【考研线代】六. 二次型_第12张图片
    在这里插入图片描述

6.3.4 求二次型对应的矩阵

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6.3.5 曲面集合

柱面

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单叶双曲面

【考研线代】六. 二次型_第15张图片
下图给出的单叶双曲面是直立的,为上述第一行的方程:

【考研线代】六. 二次型_第16张图片

双叶双曲面

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辅助记忆

椭球面、单叶双曲面 及 双叶双曲面的惯性指数的符号差分别为 3、1、-1.
如果符号差为2,则代表是柱面。
【考研线代】六. 二次型_第18张图片

6.3.6 证明XX矩阵是正定矩阵

假设需要证明 A T A 是正定矩阵 A^T A是正定矩阵 ATA是正定矩阵
第一步:证对称

注意:正定矩阵是二次型的对应矩阵,须先证明对称
即先说明:这个矩阵的转置是它自己
( A T A ) T = A T ( A T ) T = A T A (A^T A)^T = A^T(A^T)^T = A^T A ATAT=ATATT=ATA

第二步:根据矩阵是否抽象,选择不同的方式:

  • 如果给出的是抽象矩阵,一般用定义证明
    对于任意非零向量 x ,恒有 x T ( A T A ) x > 0 对于任意非零向量x,恒有x^T(A^TA)x>0 对于任意非零向量x,恒有xT(ATA)x>0
  • 如果给出的是具体的矩阵,就可以算特征值
    所有特征值 λ > 0 所有特征值\lambda > 0 所有特征值λ>0

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