离散数学学习笔记——命题逻辑

命题联结词

命题联接词 “∧”、“∨”、“↔” 具有对称性，而 “¬”、“→” 没有。

命题联结词的真值表

联结词是两个命题真值之间的联结，而不是命题内容之间的连接，因此复合命题的真值只取决于构成他们的各简单命题的真值，而与它们的内容无关，与二者之间是否有关系无关。

命题联结词的优先级

1 所有五个联接词的优先顺序为：否定，合取，析取，蕴涵，等价；
2 同级的联结词，按其出现的先后次序 (从左到右)；
3 若运算要求与优先次序不一致时，可使用括号；同级符号相邻时，也可使用括号。括号中的运算为最高优先级。

举例：
设命题 P : 你陪伴我; Q : 你代我叫车子; R : 我将出去。

符号化下述语句：
1 如果你陪伴我并且代我叫辆车子，则我将出去。
符号化为： (P ∧ Q) → R
2 如果你不陪伴我或不代我叫辆车子，我将不出去。
符号化为： (¬P ∨ ¬Q) → ¬R
3 除非你陪伴我或代我叫车子，否则我将不出去。
符号化为：R → (P ∨ Q) 或 (¬P ∧ ¬Q) → ¬R

命题联接词与开关电路

设命题 P；开关 S1 闭合；命题 Q；开关 S2 闭合。则用复合命题表示：

• (图 1) 开关电路的 “串联”：P ∧ Q
• (图 2) 开关电路的 “并联”：P ∨ Q
• (图 3) 开关电路的 “断开”：¬P

命题联接词与逻辑电路

命题联接词 “∧”、“∨”、“¬” 对应于与门、或门和非门电路，从而命题逻辑是计算机硬件电路的表示、分析和设计的重要工具。

命题联接词与网页检索

在布尔检索中，联接词 “∧”（一般用 AND 表示）用于匹配包含两个检索项的记录，联接词 “∨”（一般用 OR 表示）用于匹配包含两个检索项至少一个的记录，而联接词 “¬”（一般用 NOT 表示）用于排除某个特定的检索项。

命题联接词与位运算

计算机中的信息采用二进制的方式来表达。每个二进制位只能是 1 或 0，可对应于某一个布尔变量的真值。当我们需要判断该布尔变量的真值时，就可以利用按位与（bitwise AND）或按位或（bitwise OR）以及按位取反（bitwise NOT）等来操作。