递归算法（及其衍生算法：缓存，分治，回溯）

一、初识递归

递归函数 = 终止条件 + 递归关系
终止条件： 当大问题被拆解成能轻松解决的小问题时，运行终止条件中的逻辑
递归关系： 定义如何将大问题拆解为小问题

例子：小名跑步。
例如：小名跑4公里，可以分为（跑1km+再跑3km）-> （跑1km+再跑2km）-> （跑1km+再跑1km）-> （跑完全程）
实现：

public void running(int distance) {
    if (distance == 0) { // 终止条件
        System.out.println("小名跑完了全程！");
        return;
    } else {
        System.out.println("小名跑了1km");
        distance = distance - 1;
        System.out.println("还剩" + distance + "km");
        running(distance); // 递归调用
    }
}

@Test
public void test1() {
    int distance = 4;
    System.out.println("跑步总程：" + distance + "km");
    running(distance);
}

输出：

跑步总程：4km
小名跑了1km
还剩3km
小名跑了1km
还剩2km
小名跑了1km
还剩1km
小名跑了1km
还剩0km
小名跑完了全程！

正如：LeetCode: 700. 二叉搜索树中的搜索
树对象：

public class TreeNode {
    int val;
    TreeNode left;
    TreeNode right;

    TreeNode() {
    }

    TreeNode(int val) {
        this.val = val;
    }

    TreeNode(int val, TreeNode left, TreeNode right) {
        this.val = val;
        this.left = left;
        this.right = right;
    }

    @Override
    public String toString() {
        return "TreeNode{" +
                "val=" + val +
                ", left=" + left +
                ", right=" + right +
                '}';
    }
}

主要方法：

public TreeNode searchBST(TreeNode root, int val) {
    // 终止条件
    if (root == null) return null; // 搜索完所有节点，目标节点不存在
    if (root.val == val) return root; // 当前节点即为目标节点
    // 递归(已知：二叉搜索树（BST）右子树节点值大于左子树节点值)
    if (val > root.val) return searchBST(root.right, val); // 目标值大于当前节点，开始搜索右子树
    else return searchBST(root.left, val); // 目标值大于当前节点，开始搜索左子树
}

测试：

@Test
public void test() {
    TreeNode treeNode1 = new TreeNode(1);
    TreeNode treeNode3 = new TreeNode(3);
    TreeNode treeNode7 = new TreeNode(7);
    TreeNode treeNode2 = new TreeNode(2,treeNode1,treeNode3);
    TreeNode treeNode4 = new TreeNode(4,treeNode2,treeNode7);
    TreeNode treeNode = searchBST(treeNode4, 2);
    System.out.println(treeNode == null ? null : treeNode.toString());
}

输出：

TreeNode{val=2, left=TreeNode{val=1, left=null, right=null}, right=TreeNode{val=3, left=null, right=null}}

递归三种形式：
1.Memorization缓存：将计算结果保存，避免重复计算
2.Divide and conquer分治：将一个大问题分解成小问题，各个击破，然后将“小问题的解”组合起来
3.Backracking回溯：逐步尝试所有满足条件的结果，一旦发现不可行的解，立即停止。

二、缓存

1. 初始化缓存
2. 如果缓存中存在答案，则直接返回
3. 将计算结果写入缓存

正如：LeetCode：509. 斐波那契数

题目提示中提到：
f(0) = 0，f(1) = 1
f(n) = f(n - 1) + f(n - 2)，其中 n > 1
所以我不难计算出f(2)=1，从上图我们可以看出f(2)被计算了两次，所以这里我们用缓存来减少加法的次数。

public int fib(int n) {
    //1.初始化缓存
    int[] memo = new int[n+1];
    int res = helper(memo, n);
    return res;
}

public int helper(int[] memo, int n){
    if (n < 2) {
        return n;
    }
    //2.如果缓存中存在答案，则直接返回
    if(memo[n]!=0){
        return memo[n];
    }
    //3.将计算结果写入缓存
    memo[n] = helper(memo, n - 1) + helper(memo, n - 2);
    return memo[n];
}

测试：

@Test
public void test3(){
    int fib = fib(4);
    System.out.println(fib);
}

输出：

3

三、分治

1. 把大问题分为一系列小问题
2. 递归求解每个子问题
3. 合并每个子问题的结果
   二叉搜索树（BST）：左子树的所有值要比根节点小；右子树的所有值要比根节点大

正如：LeetCode：98. 验证二叉搜索树

public boolean isValidBST(TreeNode root) {
    return helper(root, Long.MIN_VALUE, Long.MAX_VALUE);
}

public boolean helper(TreeNode node, long lower, long upper){
    if (node == null) {
        return true;
    }
    if (node.val <= lower || node.val >= upper) {
        return false;
    }
    return helper(node.left,lower,node.val) && helper(node.right,node.val,upper);
}

helper方法解读：
当入参是左子树节点，要限制所有其他节点比该节点小（限制上界是节点val）
当入参是右子树节点，要限制所有其他节点比根节点大（限制下界是节点val）
省略树对象：见上一小节

测试：

@Test
public void test5(){
    System.out.println("--------------示例1--------------");
    TreeNode treeNode11 = new TreeNode(1);
    TreeNode treeNode33 = new TreeNode(3);
    TreeNode treeNode22 = new TreeNode(2,treeNode11,treeNode33);
    System.out.println(isValidBST(treeNode22));
    System.out.println("---------------示例2-------------");
    TreeNode treeNode1 = new TreeNode(1);
    TreeNode treeNode3 = new TreeNode(3);
    TreeNode treeNode6 = new TreeNode(6);
    TreeNode treeNode4 = new TreeNode(4, treeNode3, treeNode6);
    TreeNode treeNode5 = new TreeNode(5, treeNode1, treeNode4);
    System.out.println(isValidBST(treeNode5));
}

示例1（来自LeetCode）：

示例2（来自LeetCode）：

输出：

--------------示例1--------------
true
---------------示例2-------------
false

四、回溯

1. 迭代所有可能的候选对象
2. 试试这个部分候选解决方案
3. 给定候选者，进一步探索
4. 回溯

正如：LeetCode：22. 括号生成

图片来源

从上文的例子中，可以看出递归的题目都可以被画成树状图。本题要求是“有效的”括号组合，所以肯定不可能由右括号开始。之后就是尝试列举所有括号组合情况了，当括号数量达到 2n 这就是我们的终止递归的条件了。这里值得注意的是：左括号的数量不能大于n，而且右括号的数量不能大于左括号的数量，显然这样是不符合题目“有效的”括号组合规定的

public void backtrack(List<String> ans, StringBuilder cur, int open, int close, int max) {
    // 终止条件
    if (cur.length() == 2 * max) {
        ans.add(cur.toString());
        return;
    }
    // 左括号不能超过最大值
    if (open < max) {
        // 试探添加左括号
        backtrackV2(ans, cur.append("("), open + 1, close, max);
        // 回溯
        cur.deleteCharAt(cur.length() - 1);
    }
    // 右括号数量不能大于左括号数量
    if (close < open) {
        // 试探添加右括号
        backtrackV2(ans, cur.append(")"), open, close + 1, max);
        // 回溯
        cur.deleteCharAt(cur.length() - 1);
    }
}

public List<String> generateParenthesis(int n) {
    List<String> ans = new ArrayList<String>();
    backtrack(ans, new StringBuilder(), 0, 0, n);
    return ans;
}

测试

@Test
public void test6(){
    List<String> strings = generateParenthesis(3);
    System.out.println(strings);
}

输出：

[((())), (()()), (())(), ()(()), ()()()]

小名心得：在使用回溯法式，我们只需考虑清楚：方法外部的入参和出参，方法内部的限制条件和终止条件即可，无需过于关系代码是如何帮你实现的。也无需添加打印语句查看程序的执行顺序，那样只会越看越懵，所以我们只需考虑好，我们要怎样得到想要的结果即可。

参考内容：
【小小福讲算法】硅谷工程师十五分钟带你深入理解 Recursion （递归）算法，及其衍生出的算法（分治算法Divide and Conquer, 回溯 Backtracking）

参考内容中的大佬把递归讲的很好理解，感兴趣的小伙伴可以去看下（B站搬运版）。本文是小名学习后的总结，若有错误理解，希望大家可以在评论区纠正小名。感谢大家