数学建模2-美国人口增长模型的确定

准备工作

题目

人口增长模型的确定
1790-1980年间美国每隔10年的人口记录如下表所示。
1.试用以上数据建立马尔萨斯(Malthus)人口指数增长模型，并对接下来的每隔十年预测五次人口数量，并查阅实际数据进行比对分析。
2.如果数据不相符，再对以上模型进行改进，寻找更为合适的模型进行预测，并对两次预测结果进行对比分析。
3.查阅资料找出中国人口与表1同时期的人口数量，用以上建立的两个模型进行人口预测与分析。

理解算法

http://www.doc88.com/p-773826839689.html
http://www.docin.com/p-938750966.html
https://wenku.baidu.com/view/df497b3410661ed9ad51f36f.html

参考代码

http://www.doc88.com/p-414778587173.html

难点、问题

1. http://www.docin.com/p-938750966.html 中公式4到公式5的推导 — 未解决
2. 已知公式5，和表格数据，怎么求出r与Xm。— 已知公式+数据，求参数（即拟合问题）
3. 预测是指数增长，真实数据不是指数增长。

实现算法

##马尔萨斯

clear;
clc;

%% ---------------------------------------------------
% 马尔萨斯1:求模型
% ------------------------------------------------------------
t = (0:19);                 % 1790-1980 共20年
x = [3.9, 5.3,  7.2,  9.6,   12.9,  17.1,  23.2,  31.4,  38.6,  50.2, 62.9, 76.0, 92.0, 106.5, 123.2, 131.7, 150.7, 179.3, 204.0, 226.5];
subplot(1, 2, 1);
plot(t, x, ' o');
y = log(x);
p = polyfit(t, y, 1)        % 求出p, y = p[1] * t + p[2]
% 得到，p[1] = 0.2142, p[2] = 1.7213
% 所以，x0 = e^p[2] = e^1.7213 = 5.5917
x0 = exp(p(2))
% 所以，x(t) = 5.5917 * e^0.2142t


%% ---------------------------------------------------
% 马尔萨斯2:预测
% ------------------------------------------------------------
tPredict = (20:24);
xPredict = 5.5917 * exp(0.2142 * tPredict);
subplot(1, 2, 2);
plot([t,tPredict], [x , xPredict], ' *');
% xPredict = [405, 502, 622, 771, 955]

##logistic 阻滞增长
已知公式+数据，求参数（即拟合问题）

clear
clc

% 准备数据
t = (0:19);                 % 1790-1980 共20年
x = [3.9, 5.3,  7.2,  9.6,   12.9,  17.1,  23.2,  31.4,  38.6,  50.2, 62.9, 76.0, 92.0, 106.5, 123.2, 131.7, 150.7, 179.3, 204.0, 226.5];
plot(t, x, ' o');
hold on;

% 已知x(0) = 3.9
myfunc = @(a, t)[a(1) / ((1 + a(1) / 3.9) - 1) * exp(-a(2) * (t - 0))];
a0 = [500, 1];
a = lsqcurvefit(myfunc, a0, t, x);
disp(['a= ' num2str(a)]);

a

tPredict = (20:24);
xPredict = myfunc(a, tPredict);
plot([t, tPredict], [x, xPredict], ' *r');

题目其他要求

对比真实数据

真实数据1
真实数据2
对比以后发现并不理想，下午继续看。