线性代数 --- 个人文章索引

这是我自己学习MIT线性代数过程中的所有学习文章索引

 

1，向量，矩阵（vector and Matrix）

1.1，基本概念

什么叫线性组合 Linear Combination

线性相关与线性无关

矩阵的列视图与行视图

1.2，向量
向量的内积（点积）

向量的长度

向量的内积与正交(垂直),Orthogonal Vectors

用内积重新定义矩阵的转置

1.3，矩阵与向量的相关操作

如何用行向量和列向量对矩阵进行操作？

矩阵与向量相乘

如何用行置换矩阵(P)和列置换矩阵(Q)对矩阵进行操作？

1.4，矩阵的逆

什么是矩阵的逆？

矩阵求逆的4种方法

可逆矩阵的性质

如何判断矩阵是否可逆（奇异与非奇异）？

1.5，矩阵

置换矩阵 - permutation matrix

线性代数中的一些特殊矩阵(被广泛用于高斯消元法的消元矩阵E）

2，高斯消元，LU分解(Gaussian Elimination and LU decomposition)

2.1，高斯消元

Gauss消元的部分主元法和完全主元法

什么是高斯消元法，什么又是高斯-若尔当消元？

高斯消元法的几何解释

2.2，LU分解

LU分解(Gauss消元法的矩阵表示）

带有置换矩阵P的LU分解

LU分解的数值算法Crout‘s method

3，线性方程组，向量空间（Linear equations and Vector space）

3.1，线性方程组  

什么是线性方程组？

线性方程组的相容与不相容

如何求解不可逆的mxn长方形矩阵Ax=0的通解Null(A)和Ax=b的通解

​​​​​​求解Ax=0/Ax=b的计算步骤

Rank秩

3.2，向量空间

向量空间(vector space)与子空间(subspace)

张成(span),基底(basis)与向量空间的维数(dimension of vector space）

Matrix A的零空间(Null space)与列空间(Column space)

线性代数基本定理上(四个基本子空间的维数，行秩=列秩）

线性代数基本定理下(四个基本子空间两两正交且互为正交补）

4，正交，投影与最小二乘(Orthogonality, Projections and Least Squares)

线性代数 --- 投影Projection 一（投影向量p）

线性代数 --- 投影Projection 二（投影即分量）

线性代数 --- 投影Projection 三（投影矩阵P）

线性代数 --- 投影Projection 四（投影有什么用？Why projection）

线性代数 --- 投影Projection 五（投影矩阵的性质）

线性代数 --- 投影Projection与Cauthy-Schwarz柯西不等式

5，行列式(Determinants)

三种计算矩阵的行列式的方法之一 拉普拉斯展开法

三种计算矩阵的行列式的方法之二 莱布尼兹展开法

三种计算矩阵的行列式的方法之三 LU分解法

6，特征值与特征向量(Eigenvalues and Eigenvectors)

特征向量，特征值与迹

矩阵的n次幂 - 特征值

矩阵的对角化 - 特征向量

7，正定矩阵(Positive Definite Matrices)

8，矩阵的计算(Computations with Matrices)

条件数（condition number）

9，其他

如何学好线性代数？

求解Ax=b时的反斜杠“\“,backslash

纳尼? 2D的高斯核可以通过1D的高斯核直接生成？

线性代数中方程Ax=b的A究竟是什么？！

（全文完）

作者 --- 松下J27

鳴謝：

1, Introduction to Linear Algebra --- Gilbert Strang

2, MIT open course ware --- 18.06.Gilbert Strang

3，Gilbert Strang's Homepage

古文赏析：

《曹刿论战》左传

---  左丘明，先秦

　　十年春，齐师伐我。公将战，曹刿请见。其乡人曰：“肉食者谋之，又何间焉？”刿曰：“肉食者鄙，未能远谋。”乃入见。问：“何以战？”公曰：“衣食所安，弗敢专也，必以分人。”对曰：“小惠未遍，民弗从也。”公曰：“牺牲玉帛，弗敢加也，必以信。”对曰：“小信未孚，神弗福也。”公曰：“小大之狱，虽不能察，必以情。”对曰：“忠之属也。可以一战。战则请从。”（遍 同：徧)

　　公与之乘，战于长勺。公将鼓之。刿曰：“未可。”齐人三鼓。刿曰：“可矣。”齐师败绩。公将驰之。刿曰：“未可。”下视其辙，登轼而望之，曰：“可矣。”遂逐齐师。

　　既克，公问其故。对曰：“夫战，勇气也。一鼓作气，再而衰，三而竭。彼竭我盈，故克之。夫大国，难测也，惧有伏焉。吾视其辙乱，望其旗靡，故逐之。”

 （配图与本文无关）

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