PID算法详解及实例分析

1.PID算法入门

PID算法算是控制领域最经典，最重要，也是最实用的算法了。所谓的PID，指的是proportion，integration，differentiation，比例，积分，微分。
因此，PID是结合了比例积分微分三个模块于一身的控制算法。

先看公式：
$$u(t)=K_p\left(e(t)+\frac{1}{T_i}{\int }_0^{t}e(t)dt+T_d\frac{de(t)}{dt}\right)$$
如果公式看不懂，没关系，我们先往后面走，回头再分析公式。

2.通过实例对PID进行理解

为了更好了解PID算法，我们选取一个例子进行分析，这个例子在很多地方被使用，我们也选过来作为例子进行分析。

小明现在有一个任务：有个水桶，水桶的水位高度需要时刻保持1m，目前水桶的水是0.2m，小命采用比例的方式加水(即P)，即每次测量与1m 的误差,并加入与误差成比例的水量。

设$K_p=0.5$
第一次的误差：1-0.2=0.8，于是加入的水为0.50.8=0.4，此时桶内水0.6。
第二次的误差：1-0.6=0.4，于是加入的水为0.50.6=0.3，此时桶内水0.9。
第三次的误差：1-0.9=0.1，于是加入的水为0.5*0.1=0.05，此时桶内水0.95。
以此类推，不断加下去，通过P控制就可以将水加满到1，完美！

3.积分环节

上面的比例环节，貌似就可以解决问题。但是实际中没有这么理想的情况，比如水桶有个洞，每次加水都会流出0.1m。这个时候就比较接近真实情况了，比如系统的各种摩擦力，阻力什么的。

如果我们还是用上面的比例控制(P环节)
第一次的误差：1-0.2=0.8，于是加入的水为0.50.8=0.4，此时桶内水0.6-0.1=0.5。
第二次的误差：1-0.5=0.5，于是加入的水为0.50.5=0.25，此时桶内水0。5+0.25-0.1=0.65。
第三次的误差：1-0.65=0.35，于是加入的水为0.5*0.35=0.175，此时桶内水0.65+0.175-0.1=0.725。
…
我们多算几次以后发现，水位最终会在0.8m处稳定。如果反推一下，我们也很好理解：当误差为0.2m时，每次加水量为0.1，漏掉的也是0.1，正好加的等于漏掉的。

这就是系统稳定误差的概念。

关于系统稳态误差，引用胡寿松老爷子自动控制原理一书中的描述：

控制系统的稳态误差，是系统控制准确度的一种度量，通常称为稳态性能。在控制系统设计中，稳态误差是一项重要的技术指标，对于一个实际的控制系统，由于系统结构，输入作用的类型(控制量或扰动量) ,输入函数的形式(阶跃，斜坡或加速度)不同，控制系统的稳态输出不可能在任何情况下与输入量一致，也不可能在任何形式的扰动作用下都能准确地恢复到平衡位置。此外，控制系统中不可避免的存在摩擦，间隙，不灵敏区，零位输出等非线性因素，都会造成附加稳态误差。因此，控制系统的稳态误差是不可避免的，控制系统设计的任务之一，就是尽量减小系统的稳态误差，或者使稳态误差小于某一容许值。显然，只有当系统稳定时，研究稳态误差才有意义。对于不稳定系统而言，根本不存在研究稳态误差的可能性。

为了消除稳态误差，我们的做法就是引入积分项，就是PID中的I，积分控制就是将历史误差累加起来再乘以积分常数，即
$$\frac{1}{T_i}{\int }_0^{t}e(t)dt$$

前面的例子，我们还是设置为Kp=0.5,Ki= 0.3。
第一次，误差为0.8, 比例部分 Kp0.8=0.4, 积分部分 Ki(e(1))= 0.24,加入水量u为0.4+0.24=0.64. 最终水位0.2+0.64-0.1= 0.74m
第二次，误差为0.26,比例部分Kp0.26=0.13,积分部分Kp*(e(1)+e(2))= 0.318,加入水量u为 0.13+0.318=0.448.最终水位 0.74+0.448-0.1=1.088m。

如果这样一直下去，最终会到达一个稳定值。

4.微分环节

前面我们已经分析了，积分环节能消除稳态误差，但是积分环境又会带来另外一个问题：积分环节会带来超调量。而且随着Ki值的变大，超调量也会边大。
所谓的超调量，是指峰值超过终止的比例。从直观上来说，超调量对应的对就是波峰位置。波峰越高，超调量越大。

为了消减超调，我们引入微分运算，也就PID中的D。
上面的例子，我们假设Kp=0.5,Ki= 0.5,Kd=0.3。

第一次: 误差为0.8, 比例部分 Kp0.8=0.4, 积分部分 Ki(e(1))= 0.24,微分部分 =0 (因为没加水前水位差就是0.8) 加入水量u为0.4+0.4=0.8. 最终水位0.2+0.8-0.1= 0.9m

第二次: 误差为0.1,比例部分Kp0.1=0.5,积分部分Kp(e(1)+e(2))= 0.45,微分部分为Kd*(e(2)-e(1))加入水量u为 0.5+0.45-0.21=0.29.最终水位 0.9+0.29-0.1=1.09m
…
最后我们计算发现，引入微分运算以后，超调量比之前有减小。

5.PID各模块小结

比例部分P:
比例环节的作用是对偏差瞬间作出反应。偏差一旦产生控制器立即产生控制作用， 使控制量向减少偏差的方向变化。 控制作用的强弱取决于比例系数Kp， 比例系数Kp越大，控制作用越强， 则过渡过程越快， 控制过程的静态偏差也就越小； 但是Kp越大，也越容易产生振荡， 破坏系统的稳定性。 故而， 比例系数Kp选择必须恰当， 才能过渡时间少， 静差小而又稳定的效果。

积分部分I:
从积分部分的数学表达式可以知道， 只要存在偏差， 则它的控制作用就不断的增加； 只有在偏差e(t)＝0时， 它的积分才能是一个常数，控制作用才是一个不会增加的常数。 可见，积分部分可以消除系统的偏差。
积分环节的调节作用虽然会消除静态误差，但也会降低系统的响应速度，增加系统的超调量。积分常数Ti越大，积分的积累作用越弱，这时系统在过渡时不会产生振荡； 但是增大积分常数Ti会减慢静态误差的消除过程，消除偏差所需的时间也较长， 但可以减少超调量，提高系统的稳定性。

微分部分D:
实际的控制系统除了希望消除静态误差外，还要求加快调节过程。在偏差出现的瞬间，或在偏差变化的瞬间， 不但要对偏差量做出立即响应（比例环节的作用）， 而且要根据偏差的变化趋势预先给出适当的纠正。为了实现这一作用，可在 PI 控制器的基础上加入微分环节，形成 PID 控制器。
微分环节的作用使阻止偏差的变化。它是根据偏差的变化趋势（变化速度）进行控制。偏差变化的越快，微分控制器的输出就越大，并能在偏差值变大之前进行修正。微分作用的引入， 将有助于减小超调量， 克服振荡， 使系统趋于稳定， 特别对髙阶系统非常有利， 它加快了系统的跟踪速度。但微分的作用对输入信号的噪声很敏感，对那些噪声较大的系统一般不用微分， 或在微分起作用之前先对输入信号进行滤波。

6.系统稳定性判断

前面提到了系统稳定性的问题，顺便我们复习一下系统稳定性判据。
同样来自胡寿松老爷子自动控制原理一书

线性系统稳定的充分必要条件是：闭环系统特征方程的所有跟具有负实部，或者说，闭环传递函数的极点均位于s左半平面。

劳斯-赫尔维茨稳定性判据：
根据稳定的充分必要条件判别线性系统的稳定性，假设线性系统的特征方程为
$$D(s)=a_0{s}^0+a_1{s}^1+a_2{s}^2+\cdots +a_{n-1}{s}^{n-1}=0,a_0>0$$

即线性系统稳定的必要条件是，在特征方程中，各项系数均为正数。

7.PID的简单实例实现

假设我们的采样间隔为T，那么在第K个T时刻：
偏差err(K) = rin(K) - rout(K)
积分环节用加和的方式表示, err(1) + err(2) + … + err(K)
微分的环节则用斜率的形式表示， [err(K) - err(K-1)] / T

#include 

using namespace std;

struct _pid{
    float SetSpeed; //定义设定值
    float ActualSpeed; //定义实际值
    float err; //定义偏差值
    float err_last; //定义上一个偏差值
    float Kp,Ki,Kd; //定义比例、积分、微分系数
    float voltage; //定义电压值（控制执行器的变量）
    float integral; //定义积分值
}pid;

void PID_init(){
    printf("PID_init begin \n");
    pid.SetSpeed=0.0;
    pid.ActualSpeed=0.0;
    pid.err=0.0;
    pid.err_last=0.0;
    pid.voltage=0.0;
    pid.integral=0.0;
    pid.Kp=0.2;
    pid.Ki=0.015;
    pid.Kd=0.2;
    printf("PID_init end \n");
}

float PID_realize(float speed){
    pid.SetSpeed=speed;
    pid.err=pid.SetSpeed-pid.ActualSpeed;
    pid.integral+=pid.err;
    pid.voltage=pid.Kp*pid.err+pid.Ki*pid.integral+pid.Kd*(pid.err-pid.err_last);
    pid.err_last=pid.err;
    pid.ActualSpeed=pid.voltage*1.0;
    return pid.ActualSpeed;
}

int run_pid(){
    printf("System begin \n");
    PID_init();
    int count=0;
    while(count<1000) {
        float actual_speed=PID_realize(200.0);
        printf("count is: %d, actual_speed is: %f\n", count, actual_speed);
        count++;
    }
    return 0;
}

int main(int argc, char const *argv[])
{
    run_pid();
    return 0;
}

代码的最终输出为

System begin 
PID_init begin 
PID_init end 
count is: 0, actual_speed is: 83.000000
count is: 1, actual_speed is: 11.554998
count is: 2, actual_speed is: 59.559681
count is: 3, actual_speed is: 28.175407
count is: 4, actual_speed is: 52.907417
count is: 5, actual_speed is: 38.944157
...
count is: 996, actual_speed is: 199.999435
count is: 997, actual_speed is: 199.999451
count is: 998, actual_speed is: 199.999466
count is: 999, actual_speed is: 199.999481

上述代码，模拟的就是通过PID算法，将速度最终控制在200的场景。

参考文献

1.https://zhuanlan.zhihu.com/p/74131690
2.https://www.cxyzjd.com/article/weibo1230123/80812211
3.https://zhuanlan.zhihu.com/p/41425508