洛谷P1829 [国家集训队]Crash的数字表格 / JZPTAB （莫比乌斯反演+数论分块+线性筛）

洛谷P1829 [国家集训队]Crash的数字表格 / JZPTAB （莫比乌斯反演+数论分块+线性筛）

题目链接：https://www.luogu.com.cn/problem/P1829
题目大意：给定一组 $n,m$ ，求 $\sum _{i=1}^n\sum _{j=1}^{m}lcm(i,j)mod20101009$ 的值。
题解：直接上推导式子的过程。根据数论函数求和的题目的一些套路，我们可以尝试把原式转化为可以应用数论分块的求和式，从而降低求和的时间复杂度。不妨先设 $n\le m$ 。
原式：$\sum _{i=1}^n\sum _{j=1}^{m}lcm(i,j)$
$=\sum _{i=1}^n\sum _{j=1}^m\frac{ij}{gcd(i,j)}$
$=\sum _{i=1}^n\sum _{j=1}^m\sum _{d=1}^n\frac{ij}{d}[gcd(i,j)=d]$
$=\sum _{d=1}^n\sum _{i=1}^n\sum _{j=1}^m\frac{ij}{d}[gcd(i,j)=d]$
$=\sum _{d=1}^n{d}^2\sum _{i=1}^{\lfloor \frac{n}{d}\rfloor }\sum _{j=1}^{\lfloor \frac{m}{d}\rfloor }\frac{ij}{d}[gcd(i,j)=1]$
$=\sum _{d=1}^{n}d\sum _{i=1}^{\lfloor \frac{n}{d}\rfloor }\sum _{j=1}^{\lfloor \frac{m}{d}\rfloor }ij\epsilon (gcd(i,j))$
$=\sum _{d=1}^{n}d\sum _{i=1}^{\lfloor \frac{n}{d}\rfloor }\sum _{j=1}^{\lfloor \frac{m}{d}\rfloor }ij\sum _{t\mid i,t\mid j}\mu (t)$
$=\sum _{d=1}^{n}d\sum _{t=1}^{\lfloor \frac{n}{d}\rfloor }\mu (t)t^2\sum _{i=1}^{\lfloor \frac{n}{dt}\rfloor }\sum _{j=1}^{\lfloor \frac{m}{dt}\rfloor }ij$
设 $f(x,y)=\sum _{t=1}^x\mu (t)t^2\sum _{i=1}^{\lfloor \frac{x}{t}\rfloor }\sum _{j=1}^{\lfloor \frac{y}{t}\rfloor }ij(x\le y)$
显然，对于式子的后半部分 $\sum _{i=1}^{\lfloor \frac{x}{t}\rfloor }\sum _{j=1}^{\lfloor \frac{y}{t}\rfloor }ij$ ，我们可以应用数论分块进行处理，而对于前半部分的 $\mu (t)t^2$ ，我们可以预处理其的前缀和存放在数组 $s$，这样 $\sum _t^{\lfloor \frac{n}{\lfloor \frac{n}{t}\rfloor }\rfloor }\mu (t)t^2=s[\lfloor \frac{n}{\lfloor \frac{n}{t}\rfloor }\rfloor ]-s[t-1]$ 。
设原式为 $g(x,y)(x\le y)$ ，那么原式：$g(x,y)=\sum _{d=1}^{x}df(\lfloor \frac{x}{d}\rfloor ,\lfloor \frac{y}{d}\rfloor )$ 。此时可以 $O(x+y)$ 求出函数 $g(x,y)$ 的值。
下面是AC代码。

#include
#include
#include
using namespace std;
int N;
const int M=20101009;
vector<int> prime,part,mu,s;
void init(){
    s=part=vector<int>(N,0);
    mu=vector<int>(N,-1);
    s[1]=mu[1]=1;
    for(int i=2;i<N;++i){
        s[i]=((mu[i]*i*i)%M+M+s[i-1])%M;
        if(!part[i]){
            prime.push_back(i);
            part[i]=i;
        }
        for(auto j:prime){
            if(i*j>=N) break;
            part[i*j]=j;
            if(i%j==0){
                mu[i*j]=0;
                break;
            }else mu[i*j]=-mu[i];
        }
    }
}
int f(int x,int y){
    if(x>y) swap(x,y);
    int res=0;
    for(int l=1,r;l<=x;l=r+1){
        r=min(x/(x/l),y/(y/l));
        int t1=(((x/l)*(x/l+1))>>1)%M,t2=(((y/l)*(y/l+1))>>1)%M,t3=((s[r]-s[l-1])%M+M)%M;
        res=(res+t1*(t2*t3%M)%M)%M;
    }
    return res;
}
int g(int x,int y){
    if(x>y) swap(x,y);
    int res=0;
    for(int l=1,r;l<=x;l=r+1){
        r=min(x/(x/l),y/(y/l));
        res=(res+((((((r-l+1)*(l+r)>>1)%M))%M)*f(x/l,y/l))%M)%M;
    }
    return res;
}
signed main(){
    int n,m;
    cin>>n>>m;
    N=max(n,m)+5;
    init();
    cout<<g(n,m)<<endl;
}