【数据结构】时间复杂度和空间复杂度

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1. 数据结构和算法介绍

❤️ 什么是数据结构？

数据结构(Data Structure)是计算机存储、组织数据的方式，指相互之间存在一种或多种特定关系的
数据元素的集合。

什么是算法？

算法(Algorithm):就是定义良好的计算过程，他取一个或一组的值为输入，并产生出一个或一组值作为
输出。简单来说算法就是一系列的计算步骤，用来将输入数据转化成输出结果。

如何学好数据结构和算法？

死磕代码，熬成这样就可以了

画图和调试：看程序的时候一定要画图，先学会画程序的流程图，配合着图来写代码。

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2. 算法效率

如何衡量一个算法的好坏

凭借算法的时间复杂度和空间复杂度，时间复杂度衡量算法的快慢，空间复杂度衡量算法占用的内存的大小。

• 如何衡量一个算法的好坏呢？比如对于以下斐波那契数列

long long Fib(int N)
{
	if(N < 3)
	return 1;
	return Fib(N-1) + Fib(N-2);
}

斐波那契数列的递归实现方式非常简洁，但简洁一定好吗？那该如何衡量其好与坏呢？

⚽️ 算法的复杂度

算法在编写成可执行程序后，运行时需要耗费时间资源和空间(内存)资源 。因此衡量一个算法的好坏，一般是从时间和空间两个维度来衡量的，即 时间复杂度 和 空间复杂度。

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3. 时间复杂度

3.1 时间复杂度的概念

时间复杂度的定义：在计算机科学中，算法的时间复杂度是一个函数，它定量描述了该算法的运行时间。一个算法执行所耗费的时间，从理论上说，是不能算出来的，只有你把你的程序放在机器上跑起来，才能知道。但是我们需要每个算法都上机测试吗？是可以都上机测试，但是这很麻烦，所以才有了时间复杂度这个分析方式。一个算法所花费的时间与其中语句的执行次数成正比例，算法中的基本操作的执行次数，为算法的时间复杂度。

即：找到某条基本语句与问题规模N之间的数学表达式，就是算出了该算法的时间复杂度

void Func1(int N)
{
	int count = 0;
	for (int i = 0; i < N ; ++ i)
	{
		for (int j = 0; j < N ; ++ j)
		{
			++count;
		}
	}
	for (int k = 0; k < 2 * N ; ++ k)
	{
		++count;
	}
	int M = 10;
	while (M--)
	{
		++count;
	}
	printf("%d\n", count);
}

上诉代码中：Func1 执行的基本操作次数 ：

• N = 10 F(N) = 130
• N = 100 F(N) = 10210
• N = 1000 F(N) = 1002010

实际中我们计算时间复杂度时，我们其实并不一定要计算精确的执行次数，而只需要大概执行次数，那么这里我们使用大O的渐进表示法。

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3.2 大O的渐近表示法

大O符号(Big O notation)：是用于描述函数渐进行为的数学符号。

推导大O阶方法：

• 用常数1取代运行时间中的所有加法常数。
• 在修改后的运行次数函数中，只保留最高阶项。
• 如果最高阶项存在且不是1，则去除与这个项目相乘的常数。得到的结果就是大O阶。使用大O的渐进表示法以后，Func1的时间复杂度为：O(N^2)

N = 10 F(N) = 100
N = 100 F(N) = 10000
N = 1000 F(N) = 1000000

通过上面我们会发现大O的渐进表示法去掉了那些对结果影响不大的项，简洁明了的表示出了执行次数。

另外有些算法的时间复杂度存在最好、平均和最坏情况：

最坏情况：任意输入规模的最大运行次数(上界)
平均情况：任意输入规模的期望运行次数
最好情况：任意输入规模的最小运行次数(下界)
例如：在一个长度为N数组中搜索一个数据x
最好情况：1次找到
最坏情况：N次找到
平均情况：N/2次找到
在实际中一般情况关注的是算法的最坏运行情况，所以数组中搜索数据时间复杂度为O(N)

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3.3 常见时间复杂度计算举例

❤️ 实例1：

// 计算Func2的时间复杂度？
void Func2(int N)
{
	int count = 0;
	for (int k = 0; k < 2 * N ; ++ k)
	{
		++count;
	}
	int M = 10;
	while (M--)
	{
		++count;
	}
	printf("%d\n", count);
}

基本操作的执行次数为：2*N+10次，用大O渐近表示法推导的结果是O(N)

实例2：

// 计算Func3的时间复杂度？
void Func3(int N, int M)
{
	int count = 0;
	for (int k = 0; k < M; ++ k)
	{
		++count;
	}
	for (int k = 0; k < N ; ++ k)
	{
		++count;
	}
	printf("%d\n", count);
}

基本操作的执行次数为：M+N次,大O渐近表示为O(M+N)

实例3：

// 计算Func4的时间复杂度？
void Func4(int N)
{
	int count = 0;
	for (int k = 0; k < 100; ++ k)
	{
		++count;
	}
	printf("%d\n", count);
}

基本操作的执行次数为：100次，大O渐近法表示为O(1)

实例4：

const char * strchr ( const char * str, int character );

从字符串中str中寻找character第一次出现的位置，返回其位置的指针，没有找到则返回NULL。时间复杂度为O(N)。

实例5：

// 计算BubbleSort的时间复杂度？
void BubbleSort(int* a, int n)
{
	assert(a);
	for (size_t end = n; end > 0; --end)
	{
		int exchange = 0;
		for (size_t i = 1; i < end; ++i)
		{
			if (a[i-1] > a[i])
			{
				Swap(&a[i-1], &a[i]);
				exchange = 1;
			}
		}
		if (exchange == 0)
			break;
	}
}

计算冒泡排序的时间复杂度，内层循环第一次执行n-1次，第二次执行n-2次，一直到最后一次执行次数为1次，是一个等差数列，由此我们可以得出整个程序基本操作的执行的次数为 (N*N)/2-(N/2),用大O的渐近表示法表示为O(N * N)。

实例6：

int BinarySearch(int* a, int n, int x)
{
	assert(a);
	int begin = 0;
	int end = n-1;
	// [begin, end]：begin和end是左闭右闭区间，因此有=号
	while (begin <= end)
	{
		int mid = begin + ((end-begin)>>1);
		if (a[mid] < x)
			begin = mid+1;
		else if (a[mid] > x)
			end = mid-1;
		else
			return mid;
	}
	return -1;
}

二分查找的时间复杂度，每次将查找区间缩小为上一次查找区间的1/2，直到最后找到目标数字或者找不到目标数字。所以时间复杂度为O(logN)，这里的底数为2。

实例7：

// 计算阶乘递归Fac的时间复杂度？
long long Fac(size_t N)
{
	if(0 == N)
		return 1;
	return Fac(N-1)*N;
}

该函数的基本操作递归了N次，所以时间复杂度为O(N)。

实例8：

// 计算斐波那契递归Fib的时间复杂度？
long long Fib(size_t N)
{
	if(N < 3)
		return 1;
	return Fib(N-1) + Fib(N-2);
}

这里我们可以看到斐波那契数列递归每次调用时的基本操作次数大约是一个首项为1，公比为2的等比数列，对其求和为2的n次方项。所以其时间复杂度为O(2^N)。

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4. 空间复杂度

• 空间复杂度也是一个数学表达式，是对一个算法在运行过程中临时占用存储空间大小的量度 。
• 空间复杂度不是程序占用了多少bytes的空间，因为这个也没太大意义，所以空间复杂度算的是变量的个数。
• 空间复杂度计算规则基本跟实践复杂度类似，也使用大O渐进表示法。

注意：函数运行时所需要的栈空间(存储参数、局部变量、一些寄存器信息等)在编译期间已经确定好了，因此空间复杂度主要通过函数在运行时候显式申请的额外空间来确定。

下面是空间复杂度的几道练习题

❤️ 实例1：

// 计算BubbleSort的空间复杂度？
void BubbleSort(int* a, int n)
{
	assert(a);
	for (size_t end = n; end > 0; --end)
	{
		int exchange = 0;
		for (size_t i = 1; i < end; ++i)
		{
			if (a[i-1] > a[i])
			{
				Swap(&a[i-1], &a[i]);
				exchange = 1;
			}
		}
		if (exchange == 0)
			break;
	}
}

该实例使用了常数个额外空间，所以空间复杂度为 O(1)。

实例2：

// 计算Fibonacci的空间复杂度？
// 返回斐波那契数列的前n项
long long* Fibonacci(size_t n)
{
	if(n==0)
		return NULL;
	long long * fibArray = (long long *)malloc((n+1) * sizeof(long long));
	fibArray[0] = 0;
	fibArray[1] = 1;
	for (int i = 2; i <= n ; ++i)
	{
		fibArray[i] = fibArray[i - 1] + fibArray [i - 2];
	}
	return fibArray;
}

该实例动态开辟了N个空间，空间复杂度为 O(N)。

实例3：

// 计算阶乘递归Fac的空间复杂度？
long long Fac(size_t N)
{
	if(N == 0)
		return 1;
	return Fac(N-1)*N;
}

实例3递归调用了N次，开辟了N个栈帧，每个栈帧使用了常数个空间。空间复杂度为O(N)

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5. 常见的复杂度对比

6. 复杂度的oj练习

(1) 消失的数字

• 消失的数字OJ链接

题解如下：

int missingNumber(int* nums, int numsSize){
    int res = 0;
    for (int i = 0; i < numsSize; i ++ ) {
        res ^= nums[i];
    }        
    for (int i = 0; i < numsSize + 1; i ++ ) {
        res ^= i;
    }
    return res;   
}

(2)轮转数组：

• 轮转数组OJ链接

题解如下：

void reverse(int *nums,int left,int right){
    while(left<right)
    {
        int tmp=nums[left];
        nums[left]=nums[right];
        nums[right]=tmp;
        left++;
        right--;
    }
}
void rotate(int* nums, int numsSize, int k){
    k=k%numsSize;
    if(numsSize==1)
        return;
    int tmp=numsSize-k;
    reverse(nums,0,tmp-1);
    reverse(nums,tmp,numsSize-1);
    reverse(nums,0,numsSize-1);
}