连续子数组的最大和问题（五种解法）

昨天（2021年5月29日）参加了软考软件设计师的考试，试卷上出现了一道算法题，问：连续子数组最大和的分治解法的时间复杂度，考完正好记录总结一下这道算法题。

求连续子数组的最大和

题目描述：
输入一个整型数组，数组里有正数也有负数。
数组中连续的一个或多个整数组成一个子数组，每个子数组都有一个和。

比如上面这个数组的子数组的最大和为187,从下标3到下标7的位置。（本文中数组下标从1开始）

思路

比较常规的思路是暴力（O(n³)）、前缀和数组（O(n²)）两种，但是时间复杂度比较高，这题也可以用分治的策略做，时间复杂度O(nlogn)，还有两种时间复杂度为O(n)的做法，一种是动态规划，另一种是扫描法。这题需要掌握O(n)的解法。

解法

解法一：暴力法 O(n³)

int MaxSumOfSub1(){
    int res=-INF;
    for(int i=1;i<=cnt;i++){
        for(int j=i+1;j<=cnt;j++){
            int sum=0;
            for(int k=i;k<=j;k++)
                sum+=nums[k];
            res=max(res,sum);
        }
    }
    return res;
}

解法二：前缀和数组 O(n²)

int MaxSumOfSub2(){
    int res=-INF;
    int sum[N];
    for(int i=1;i<=cnt;i++)
        sum[i]=sum[i-1]+nums[i];
    for(int i=1;i<=cnt;i++)
        for(int j=i+1;j<=cnt;j++)
            res=max(res,sum[j]-sum[i-1]);
    return res;
}

解法三：分治法 O(nlogn)

所谓分治法，是指将一个问题分解为两个子问题，然后分而解决之。具体步骤如下：
先将数组分为两个等长的子数组a, b；

分别求出两个数组a，b的连续子数组之和；

还有一种情况（容易忽略）：有可能最大和的子数组跨越两个数组；

最后比较ma, mb, mc，取最大即可。

在计算mc时，注意：mc必定包含总区间的中间元素，因此求mc等价于从中间元素开始往左累加的最大值 + 从中间元素开始往右累加的最大值。

int MaxSumOfSub3(int l,int r){
    if(l==r) return nums[l];
    int mid=(l+r)/2;
    //计算Ma,Mb的情况
    int maxa=MaxSumOfSub3(l,mid);
    int maxb=MaxSumOfSub3(mid+1,r);

    //计算子数组跨越两个子数组（Mc）的情况
    int maxc,lmax=0,rmax=0,sum=0;
    for(int i=mid;i>=l;i--){//从中间元素开始往左累加的最大值
        sum+=nums[i];
        lmax=max(lmax,sum);
    }
    sum=0;
    for(int i=mid+1;i<=r;i++){从中间元素开始往右累加的最大值
        sum+=nums[i];
        rmax=max(rmax,sum);
    }
    maxc=lmax+rmax;
    
    return max(maxc,max(maxa,maxb));
}

解法四：动态规划法 O(n)

dp[i]表示以下标i指向的元素结尾的所有子数组的最大和
状态转移方程：dp[i] = max(dp[i-1]+nums[i],nums[i])
最后的答案：ans=max(dp[i])
这题的dp思路和最长上升子序列类似，倒像是简化版的，这里第i个状态只从第i-1个状态转移过来。

int MaxSumOfSub4(){
    int res=-INF;
    int dp[N];
    dp[0]=0;
    for(int i=1;i<=cnt;i++){
        dp[i]=max(dp[i-1]+nums[i],nums[i]);
        res=max(dp[i],res);
    }
    return res;
}

解法五：扫描法 O(n)

当我们加上一个正数时，和会增加；当我们加上一个负数时，和会减少。如果当前得到的和是个负数，那么这个和在接下来的累加中应该抛弃并重新清零，不然的话这个负数将会减少接下来的和。

int MaxSumOfSub5(){
    int res=-INF,sum=nums[0];
    for(int i=2;i<=cnt;i++){
        if(sum<0){
            sum=nums[i];
        }else{
            sum+=nums[i];
        }
        res=max(res,sum);
    }
    return res;
}

运行结果

#include
using namespace std;
const int INF=0x3f3f3f3f,N=101000;
int nums[]={0,31,-41,59,26,-53,58,97,-93,-23,84};//0不算,下标从1算
int cnt=10;

int main(){
    printf("暴力法：%d\n",MaxSumOfSub1());
    printf("前缀和数组：%d\n",MaxSumOfSub2());
    printf("动态规划：%d\n",MaxSumOfSub4());
    printf("分治法：%d\n",MaxSumOfSub3(1,cnt));
    printf("扫描法：%d\n",MaxSumOfSub5());

    return 0;
}