第3章 趋势

趋势（时序中确定性的信息）

确定性趋势与随机趋势

平稳时序是在某个水平值附近振荡，非平稳序列是有明显的上升或者下降的趋势的。
如果序列非平稳，例如随机游走。
首先我们要考虑它是否有固定的趋势，如果有，我们要找出来。
1、确定趋势：
曲线趋势 上升或下降
周期趋势 时序图会有明显的周期性趋势
2、不确定趋势：随机趋势 对于一个随机游走 会有各种趋势（上或下）
我们不可以用一个严格的上或下的趋势描述它 所以称为随机趋势（如何处理随机趋势暂时不讲）

非平稳的原因：1、均值函数 2、自协差函数
如果非平稳序列的不平稳是由于均值函数的非恒定性造成的，我们只要把均值函数找出来，剩下的就是一个平稳序列。
趋势函数用来解决由于均值函数的非恒定性造成的不平稳。
（实验室情况下）对于时序来说，我们的一次观测值只是一个样品，只有重复观测才能得到重复的样品。
平稳性：我们将时序切割成很多个碎片来观测

确定性趋势：1、确定性均值函数给出的 2、周期性的

常数均值的估计

先看时序的均值函数是常数的情况
均值估计受相关性影响
从预测的角度来看，我们希望看到相关性
但是从精度的角度来看，我们不希望看到相关性
我们希望时序的相关性随时间间隔的增大而变弱

回归方法：多项式曲线趋势

当我们发现时序围绕一条直线上下波动

install.packages("TSA")
data(rwalk)#！rwalk本身就是一个以时序格式存储的变量
model1=lm(rwalk~time(rwalk))#将时序值作为因变量 时间作为自变量 作线性回归  直线拟合
model1a=lm(rwalk~time(rwalk)+I(time(rwalk)^2))#线性回归 曲线拟合
plot(rwalk,type="o",ylab="y")#时序图
abline(model1)#一次曲线拟合图
#时序图和拟合图都只是定性分析
summary(model1)#定量分析
summary(model1a)

通过一次项系数是否为0判断时序均值是否随时间变化，判断是否为平稳序列.
如果一次曲线拟合就足够了，那就不要用二次曲线了。
在统计建模中，我们希望我们的模型越简洁越好，统计模型越复杂，预估参数越多，观测数据的信息分布到预估参数里，这样每个参数分得的信息越少，精度就越低；如果预估参数少，那么每个参数分得的信息就多，精度就越高。

回归方法：周期性—均值模型、余弦模型

#！！！均值模型
data(tempdub)
#读取时序数据 这是一个周期性数据
month.=season(tempdub)
#提取季节性数据 本身这个数据就是按照12个月存储的 自己定义变量名
model2=lm(tempdub~month.-1)
#回归 -1表示我们不估计截距
plot(tempdub,ylab="Temperature",xlab="Time",type="o")
#时序图
lines(as.vector(time(tempdub)),fitted(model2),type="l",col=2)
#拟合
#参数1：横坐标 将它强制转换成向量 
#参数2：纵坐标 即拟合值 
summary(model2)
#！！！余弦模型
har.=harmonic(tempdub,1)
#1表示产生一对 一个cos和一个sin看成一对
model4=lm(tempdub~har.)
plot(ts(fitted(model4),freq=12,start=c(1964,1)),ylab="Temperature",type="l",ylim=range(c(fitted(model4),tempdub)))
#图中的曲线是拟合曲线
#参数1 调用回归的结果 进行预测 将预测值转换为时间序列
#参数2 指出周期是12
#参数3 指定开始的时间
points(tempdub)
#真实值只作点
summary(model4)

均值模型和余弦模型对比

从参数估计的精度来说，一般说来，余弦模型更精准，因为参数更少。
缺点：有的时候一对余弦波不够 最多五个余弦波可以完全提炼

回归估计的有效性

1、模型参数估计的有效性大多依赖平稳过程
2、季节模型和余弦模型在可比的情况下，简洁的余弦模型是比较好的选择

仅仅通过假设检验来选模型是很不精准的
我们需要用残差来决定
选定模型时有很多标准
最终模型的好坏需要通过残差分析
残差：真实值-估计值
残差是否为白噪声
但是验证几乎不可能
所以我们验证：1、正态性 2、不相关性
这两个满足就可以把它当作白噪声。