深度学习：Softmax回归

       在前面，我们介绍了线性回归模型的原理及实现。线性回归适合于预测连续值，而对于分类问题的离散值则束手无策。因此引出了本文所要介绍的softmax回归模型，该模型是针对多分类问题所提出的。下面我们将从softmax回归模型的原理开始介绍，最后我们同样会基于PyTorch来实现基本的softmax模型。

1、分类问题

       假设现在我们需要对图像进行分类，每次输入的数据是一个2x2的灰度图像。如果用一个标量来表示每个像素值，则每个图像可以对应$x_1,x_2,x_3,x_4$四个特征，因此可以用一个特征向量$(x_1,x_2,x_3,x_4)$来表示图像。

       另外，假设每个图像属于类别“猫”，“鸡”和“狗”其中一个，那么我们可以使用独热编码（one-hot encoding）来表示分类数据。例如标签$y$是一个三维向量，其中[1,0,0]对应“猫”类别、[0,1,0]对应“鸡”类别、[0,0,1]对应“狗”类别：
$$y\in \{(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)\}.\text{\hspace{1em}(1)}$$

2、模型网络架构

       在分类问题中，我们需要估计一张图像对于所有类别的条件概率，每一个类别对应则一个输出，则该模型是一个具有n个输入和m个输出的回归模型（n是图像的特征向量长度，m是类别数量）。

       在上面的例子中，我们有4个输入特征和3个可能的输出类别，因此我们需要12个标量来表示权重（w），3个标量来表示偏置（b），计算每个类别未规范化的条件概率：
$$\begin{gathered} o_1=x_1{w}_{11}+x_2{w}_{12}+x_3{w}_{13}+x_4{w}_{14}+b_1 \\ {o}_2=x_1{w}_{21}+x_2{w}_{22}+x_3{w}_{23}+x_4{w}_{24}+b_2 \\ {o}_3=x_1{w}_{31}+x_2{w}_{32}+x_3{w}_{33}+x_4{w}_{34}+b_3.\text{\hspace{1em}(2)} \end{gathered}$$
       （2）中的$o_1,o_2,o_3$就是图像对于所有类别的条件概率，只不过此时还没有对概率进行规范化，还不能符合我们的要求（所有类别的条件概率之和为1）。

       我们用矩阵形式来表示 $x,W,b,o$：
$$\begin{gathered} x=\left[\begin{array}{cccc}{x}_1& x_2& x_3& x_4\end{array}\right] \\ W=\left[\begin{array}{cccc}{w}_{11}& w_{12}& w_{13}& w_{14}\\ w_{21}& w_{22}& w_{23}& w_{24}\\ w_{31}& w_{32}& w_{33}& w_{34}\end{array}\right]b=\left[\begin{array}{ccc}{b}_1& b_2& b_3\end{array}\right] \\ o=\left[\begin{array}{ccc}{o}_1& o_2& o_3\end{array}\right].\text{\hspace{1em}(3)} \end{gathered}$$
       则（2）可以表示为：
$$o=x{W}^T+b.\text{\hspace{1em}(4)}$$
       我们还可以用神经网络图（图1）来表示softmax回归模型。与线性回归一样，softmax回归也是单层的神经网络。由于每个输出$o_1,o_2,o_3$都依赖于所有的输入$x_1,x_2,x_3,x_4$，因此softmax回归的输出层还是一个全连接层。

图1：softmax回归的神经网络图

3、softmax运算

       在上面，我们由权重与输⼊特征进⾏矩阵-向量乘法再加上偏置b得到的输出$o_1,o_2,o_3$。为了获取最终的预测结果，我们使用$\arg \underset{j}{\max }{o}_j$来选择最大的输出$o_j$作为预测概率。然而，直接将线性层的输出视为概率时存在⼀些问题：一方面，我们没有限制这些输出值的总和为1。另⼀方面，根据输入的不同，输出值甚至可能为负值。

       为了解决上述问题，社会科学家邓肯·卢斯于1959年在选择模型（choice model）的理论基础上发明了softmax函数。 softmax函数将未规范化的预测值变换为非负并且总和为1的概率值，同时保证模型可导。我们⾸先对每个未规范化的预测求幂，这样可以确保输出非负。为了确保最终输出的总和为1，我们再对每个求幂后的结果除以它们的总和。如下式：
$$\hat{y}=softmax(o)其中\widehat{y_j}=\frac{exp(o_j)}{{\sum }_{k=1}^{q}exp(o_k)}.\text{\hspace{1em}(5)}$$
       这⾥，对于所有的$j$总有$0\le \widehat{y_j}\le 1$。因此，$\hat{y_j} $可以视为⼀个正确的概率分布。softmax运算并不会改变未规范化的预测$o$之间大小的顺序，只会将每个类别的预测值转换概率值。因此，在预测过程中，我们可以用下式来选择输入图像最有可能的类别：
$$\arg \underset{j}{\max }\widehat{y_j}=\arg \underset{j}{\max }{o}_j.\text{\hspace{1em}(6)}$$
       尽管softmax是⼀个⾮线性函数，但softmax回归的输出仍然由输⼊特征的仿射变换决定。因此，softmax回归是⼀个线性模型（linear model）。

4、小批量样本的矢量化

       为了提⾼计算效率并且充分利用GPU，我们通常会针对小批量数据执行矢量计算。假设我们读取了⼀个批量的样本$X$，其中特征维度（输⼊数量）为d，批量大小为n。此外，假设我们在输出中有q个类别。那么小批量样本的特征为$X\in {\mathbb{R}}^{n\times d}$，权重为$W\in {\mathbb{R}}^{d\times q}$，偏置为$b\in {\mathbb{R}}^{1\times q}$。softmax回归的小批量样本的⽮量计算表达式为：
$$\begin{gathered} O=X{W}^T+b \\ \hat{Y}=softmax(O).\text{\hspace{1em}(7)} \end{gathered}$$

5、损失函数

       接下来，我们需要一个损失函数来评估预测的效果。由于在softmax回归中，我们只关心正确类别的预测概率，而不需要像线性回归那么精确地预测数值，因此我们使用交叉熵损失函数来评估模型的预测效果：
$$l(y,\hat{y})=-\sum _{j=1}^q{y}_{j}log\widehat{y_j}.\text{\hspace{1em}(8)}$$
       又因为正确标签向量$y$中只有一个标量为1，其余全为0，因此（8）可化简为：
$$l(y,\hat{y})=-log\widehat{y_j}.\text{\hspace{1em}(9)}$$
       为了使（8）更好做偏导计算，我们将（5）代入（8）中：
$$\begin{gathered} l(y,\hat{y})=-\sum _{j=1}^q{y}_{j}log\frac{exp(o_j)}{{\sum }_{k=1}^{q}exp(o_k)} \\ =\sum _{j=1}^q{y}_{j}log\sum _{k=1}^{q}exp(o_k)-\sum _{j=1}^q{y}_j{o}_j \\ =log\sum _{k=1}^{q}exp(o_k)-\sum _{j=1}^q{y}_j{o}_j.\text{\hspace{1em}(10)} \end{gathered}$$

6、参数更新

       我们对交叉熵损失函数（10）求导，获取$l(y,\hat{y})$关于$o_j$的梯度：
$$\begin{gathered} {\partial }_{o_j}l(y,\hat{y})=\frac{exp(o_j)}{{\sum }_{k=1}^{q}exp(o_k)}-y_j \\ =softmax(o{)}_j-y_j.\text{\hspace{1em}(11)} \end{gathered}$$

       然后采用梯度下降法，softmax回归的训练过程为：采用正态分布来初始化权重$W$，然后通过下式进行迭代更新：
$$W_{t+1}\leftarrow W_t-\alpha [\frac{1}{N}\sum _{n=1}^N(softmax(o{)}_j-y_j)].\text{\hspace{1em}(12)}$$

7、实现softmax回归模型

7.1、读取数据集

       在本节中，我们用softmax回归来实现图像识别。在此之前，我们先下载Fashion-MNIST数据集。

import torch
import torchvision
from torch.utils import data
from torchvision import transforms
from d2l import torch as d2l

d2l.use_svg_display()

       通过框架中的内置函数将Fashion-MNIST数据集下载并读取到内存中。

# 通过ToTensor实例将图像数据从PIL类型变换成32位浮点数格式，
# 并除以255使得所有像素的数值均在0到1之间
trans = transforms.ToTensor()
mnist_train = torchvision.datasets.FashionMNIST(
    root="/data", train=True, transform=trans, download=True)
mnist_test = torchvision.datasets.FashionMNIST(
    root="/data", train=False, transform=trans, download=True)

       Fashion-MNIST由10个类别的图像组成， 每个类别由训练数据集（train dataset）中的6000张图像 和测试数据集（test dataset）中的1000张图像组成。 因此，训练集和测试集分别包含60000和10000张图像。 测试数据集不会用于训练，只用于评估模型性能。

len(mnist_train), len(mnist_test)

       每个输入图像的高度和宽度均为28像素。 数据集由灰度图像组成，其通道数为1。

mnist_train[0][0].shape

       Fashion-MNIST中包含的10个类别，分别为t-shirt（T恤）、trouser（裤子）、pullover（套衫）、dress（连衣裙）、coat（外套）、sandal（凉鞋）、shirt（衬衫）、sneaker（运动鞋）、bag（包）和ankle boot（短靴）。 以下函数用于在数字标签索引及其文本名称之间进行转换。

def get_fashion_mnist_labels(labels):  #@save
    """返回Fashion-MNIST数据集的文本标签"""
    text_labels = ['t-shirt', 'trouser', 'pullover', 'dress', 'coat',
                   'sandal', 'shirt', 'sneaker', 'bag', 'ankle boot']
    return [text_labels[int(i)] for i in labels]

       创建一个函数来可视化这些样本。

def show_images(imgs, num_rows, num_cols, titles=None, scale=1.5):  #@save
    """绘制图像列表"""
    figsize = (num_cols * scale, num_rows * scale)
    _, axes = d2l.plt.subplots(num_rows, num_cols, figsize=figsize)
    axes = axes.flatten()
    for i, (ax, img) in enumerate(zip(axes, imgs)):
        if torch.is_tensor(img):
            # 图片张量
            ax.imshow(img.numpy())
        else:
            # PIL图片
            ax.imshow(img)
        ax.axes.get_xaxis().set_visible(False)
        ax.axes.get_yaxis().set_visible(False)
        if titles:
            ax.set_title(titles[i])
    return axes

       我们将一个小批量的数据集可视化出来看看。

X, y = next(iter(data.DataLoader(mnist_train, batch_size=15)))
show_images(X.reshape(15, 28, 28), 3, 5, titles=get_fashion_mnist_labels(y));

       为了使我们在读取训练集和测试集时更容易，我们使用内置的数据迭代器，而不是从零开始创建。 回顾一下，在每次迭代中，数据加载器每次都会读取一小批量数据，大小为batch_size。 通过内置数据迭代器，我们可以随机打乱了所有样本，从而无偏见地读取小批量，并通过多线程来读取数据。

batch_size = 256

def get_dataloader_workers():  #@save
    """使用4个进程来读取数据"""
    return 4

train_iter = data.DataLoader(mnist_train, batch_size, shuffle=True,
                             num_workers=get_dataloader_workers())

       读取一个小批量数据集所需的时间：

timer = d2l.Timer()
for X, y in train_iter:
    continue
f'{timer.stop():.2f} sec'

       为了方便使用，我们将上述的代码整合为一个函数。

# 整合上述所有组件
def load_data_fashion_mnist(batch_size, resize=None):  #@save
    """下载Fashion-MNIST数据集，然后将其加载到内存中"""
    trans = [transforms.ToTensor()]
    if resize:
        trans.insert(0, transforms.Resize(resize))
    trans = transforms.Compose(trans)
    mnist_train = torchvision.datasets.FashionMNIST(
        root="/data", train=True, transform=trans, download=True)
    mnist_test = torchvision.datasets.FashionMNIST(
        root="/data", train=False, transform=trans, download=True)
    return (data.DataLoader(mnist_train, batch_size, shuffle=True,
                            num_workers=get_dataloader_workers()),
            data.DataLoader(mnist_test, batch_size, shuffle=False,
                            num_workers=get_dataloader_workers()))

       随后，我们使用load_data_fashion_mnist来读取数据集，并通过resize参数调整图像的尺寸。

train_iter, test_iter = load_data_fashion_mnist(32, resize=28)
for X, y in train_iter:
    print(X.shape, X.dtype, y.shape, y.dtype)
    break
for X,y in test_iter:
    print(X.shape, X.dtype, y.shape, y.dtype)
    break

7.2、从零实现softmax回归

        本节我们将使用刚刚在6.1节中引入的Fashion-MNIST数据集， 并设置数据迭代器的批量大小为256。

import torch
from IPython import display
from d2l import torch as d2l

batch_size = 256
train_iter, test_iter = d2l.load_data_fashion_mnist(batch_size)

7.2.1、初始化参数

       和之前线性回归的例子一样，这里的每个样本都将用固定长度的向量表示。 原始数据集中的每个样本都是28×28的图像。 在本节中，我们将展平每个图像，把它们看作长度为784的向量。又因为我们的数据集有10个类别，所以网络输出维度为10。 因此，权重将构成一个784×10的矩阵， 偏置将构成一个1×10的行向量。 与线性回归一样，我们将使用正态分布初始化我们的权重W，偏置初始化为0。

num_inputs = 784
num_outputs = 10

W = torch.normal(0, 0.01, size=(num_inputs, num_outputs), requires_grad=True)
b = torch.zeros(num_outputs, requires_grad=True)

7.2.2、定义softmax激活函数

       回想一下，实现softmax由三个步骤组成：

1. 对每个项求幂（使用exp）；
2. 对每一行求和（小批量中每个样本是一行）；
3. 将每项除以所属行的和，确保结果的和为1。

       softmax的公式定义：

       实现如下：

def softmax(X):
    X_exp = torch.exp(X)
    partition = X_exp.sum(1, keepdim=True)
    return X_exp / partition  # 这里应用了广播机制

       我们来验证一下softmax激活函数的效果：

X = torch.normal(0, 1, (2, 5))
X_prob = softmax(X)
X, X_prob, X_prob.sum(1)

7.2.3、定义模型

       定义softmax操作后，我们可以实现softmax回归模型。 下面的代码定义了输入如何通过网络映射到输出。 注意，将数据传递到模型之前，我们使用reshape函数将每张原始图像展平为向量。

def net(X):
    return softmax(torch.matmul(X.reshape((-1, W.shape[0])), W) + b)

7.2.4、定义损失函数

       在softmax回归中，我们只关心正确类别预测的概率，因此我们需要将正确类别的预测概率提取出来参与损失函数计算。

       为了加快计算速度，我们使用y作为y_hat中概率的索引来提取正确类别的预测概率，而不会考虑使用for循环这种低效的方式。

y = torch.tensor([0, 2]) # 真实的标签
y_hat = torch.tensor([[0.1, 0.3, 0.6], [0.3, 0.2, 0.5]])   # 预测的概率
y_hat[[0, 1], y]

       因此我们可以很便捷地实现交叉熵损失函数：

def cross_entropy(y_hat, y):
    return - torch.log(y_hat[range(len(y_hat)), y])

cross_entropy(y_hat, y)

7.2.5、评估分类精度

       在实际预测时，我们必须输出最终的预测类别。为了计算分类的精度，首先，如果y_hat是矩阵，那么假定第二个维度存储每个类的预测分数。 我们使用argmax获得每行中最大元素的索引来获得预测类别。 然后我们将预测类别与真实y元素进行比较。 由于等式运算符“==”对数据类型很敏感， 因此我们将y_hat的数据类型转换为与y的数据类型一致。 结果是一个包含0（错）和1（对）的张量。 最后，我们求和会得到正确预测的数量。

def accuracy(y_hat, y):  #@save
    """计算预测正确的数量"""
    if len(y_hat.shape) > 1 and y_hat.shape[1] > 1:
        y_hat = y_hat.argmax(axis=1)
    cmp = y_hat.type(y.dtype) == y
    return float(cmp.type(y.dtype).sum())

       评估一下分类的精度：

accuracy(y_hat, y) / len(y)

       同样，对于任意数据迭代器data_iter可访问的数据集， 我们可以评估在任意模型net的精度。

def evaluate_accuracy(net, data_iter):  #@save
    """计算在指定数据集上模型的精度"""
    if isinstance(net, torch.nn.Module):
        net.eval()  # 将模型设置为评估模式
    metric = Accumulator(2)  # 正确预测数、预测总数
    with torch.no_grad():
        for X, y in data_iter:
            metric.add(accuracy(net(X), y), y.numel())
    return metric[0] / metric[1]

       这里定义一个实用程序类Accumulator，用于对多个变量进行累加。 在上面的evaluate_accuracy函数中， 我们在Accumulator实例中创建了2个变量， 分别用于存储正确预测的数量和预测的总数量。 当我们遍历数据集时，两者都将随着时间的推移而累加。

class Accumulator:  #@save
    """在n个变量上累加"""
    def __init__(self, n):
        self.data = [0.0] * n

    def add(self, *args):
        self.data = [a + float(b) for a, b in zip(self.data, args)]

    def reset(self):
        self.data = [0.0] * len(self.data)

    def __getitem__(self, idx):
        return self.data[idx]

7.2.6、训练模型

       首先，我们定义一个函数来训练一个迭代周期。 请注意，updater是更新模型参数的常用函数，它接受批量大小作为参数。 它可以是d2l.sgd函数，也可以是框架的内置优化函数。

def train_epoch_ch3(net, train_iter, loss, updater):  #@save
    """训练模型一个迭代周期"""
    # 将模型设置为训练模式
    if isinstance(net, torch.nn.Module):
        net.train()
    # 训练损失总和、训练准确度总和、样本数
    metric = Accumulator(3)
    for X, y in train_iter:
        # 计算梯度并更新参数
        y_hat = net(X)
        l = loss(y_hat, y)
        if isinstance(updater, torch.optim.Optimizer):
            # 使用PyTorch内置的优化器和损失函数
            updater.zero_grad()
            l.mean().backward()
            updater.step()
        else:
            # 使用定制的优化器和损失函数
            l.sum().backward()
            updater(X.shape[0])
        metric.add(float(l.sum()), accuracy(y_hat, y), y.numel())
    # 返回训练损失和训练精度
    return metric[0] / metric[2], metric[1] / metric[2]

       然后我们再定义一个Animator函数来可视化训练的过程：

class Animator:  #@save
    """在动画中绘制数据"""
    def __init__(self, xlabel=None, ylabel=None, legend=None, xlim=None,
                 ylim=None, xscale='linear', yscale='linear',
                 fmts=('-', 'm--', 'g-.', 'r:'), nrows=1, ncols=1,
                 figsize=(3.5, 2.5)):
        # 增量地绘制多条线
        if legend is None:
            legend = []
        d2l.use_svg_display()
        self.fig, self.axes = d2l.plt.subplots(nrows, ncols, figsize=figsize)
        if nrows * ncols == 1:
            self.axes = [self.axes, ]
        # 使用lambda函数捕获参数
        self.config_axes = lambda: d2l.set_axes(
            self.axes[0], xlabel, ylabel, xlim, ylim, xscale, yscale, legend)
        self.X, self.Y, self.fmts = None, None, fmts

    def add(self, x, y):
        # 向图表中添加多个数据点
        if not hasattr(y, "__len__"):
            y = [y]
        n = len(y)
        if not hasattr(x, "__len__"):
            x = [x] * n
        if not self.X:
            self.X = [[] for _ in range(n)]
        if not self.Y:
            self.Y = [[] for _ in range(n)]
        for i, (a, b) in enumerate(zip(x, y)):
            if a is not None and b is not None:
                self.X[i].append(a)
                self.Y[i].append(b)
        self.axes[0].cla()
        for x, y, fmt in zip(self.X, self.Y, self.fmts):
            self.axes[0].plot(x, y, fmt)
        self.config_axes()
        display.display(self.fig)
        display.clear_output(wait=True)

       接下来我们实现一个训练函数， 它会在train_iter访问到的训练数据集上训练一个模型net。 该训练函数将会运行多个迭代周期（由num_epochs指定）。 在每个迭代周期结束时，利用test_iter访问到的测试数据集对模型进行评估。 我们将利用Animator类来可视化训练进度。

def train_ch3(net, train_iter, test_iter, loss, num_epochs, updater):  #@save
    """训练模型"""
    animator = Animator(xlabel='epoch', xlim=[1, num_epochs], ylim=[0.3, 0.9],
                        legend=['train loss', 'train acc', 'test acc'])
    for epoch in range(num_epochs):
        train_metrics = train_epoch_ch3(net, train_iter, loss, updater)
        test_acc = evaluate_accuracy(net, test_iter)
        animator.add(epoch + 1, train_metrics + (test_acc,))
    train_loss, train_acc = train_metrics
    assert train_loss < 0.5, train_loss
    assert train_acc <= 1 and train_acc > 0.7, train_acc
    assert test_acc <= 1 and test_acc > 0.7, test_acc

       我们使用之前线性回归中所定义的小批量随机梯度下降来优化参数。其中，设置学习率lr为0.1。

lr = 0.1 # 学习率

def updater(batch_size):
    return d2l.sgd([W, b], lr, batch_size)

       现在，我们训练模型10个迭代周期。 请注意，迭代周期（num_epochs）和学习率（lr）都是可调节的超参数。 通过更改它们的值，我们可以提高模型的分类精度。

num_epochs = 10
train_ch3(net, train_iter, test_iter, cross_entropy, num_epochs, updater)

7.2.7、预测

       现在训练已经完成，我们的模型已经准备好对图像进行分类预测。 给定一系列图像，我们将比较它们的实际标签（文本输出的第一行）和模型预测（文本输出的第二行）。

def predict_ch3(net, test_iter, n=6):  #@save
    """预测标签"""
    for X, y in test_iter:
        break
    trues = d2l.get_fashion_mnist_labels(y)
    preds = d2l.get_fashion_mnist_labels(net(X).argmax(axis=1))
    titles = [true +'\n' + pred for true, pred in zip(trues, preds)]
    d2l.show_images(
        X[0:n].reshape((n, 28, 28)), 1, n, titles=titles[0:n])

predict_ch3(net, test_iter, 5)

8、总结

       在本文中，我们讨论了softmax回归模型的基本原理和实现方法。softmax回归适合于离散的分类，线性回归适合于预测连续的数值。

9、参考资料

1、动手学深度学习 Release2.0.0-beta0

2、softmax回归原理及损失函数

3、神经网络与深度学习_邱锡鹏

4、深度学习：线性回归模型