统计学 | 最大似然估计与EM算法（持续更新）

参考资料

• 统计计算中的优化问题

1. 最大似然估计

1.1 原理

统计中许多问题的计算最终都归结为一个最优化问题， 典型代表是最大似然估计(MLE)、各种拟似然估计方法、 非线性回归、惩罚函数方法（如svm、lasso）等。

最大似然估计经常需要用最优化算法计算， 最大似然估计问题有自身的特点， 可以直接用一般优化方法进行最大似然估计的计算， 但是利用最大似然估计的特点可以得到更有效的算法。

设总体 $\mathbf{X}$ 有概率密度（连续型随机变量）或概率分布（离散型随机变量） $p(\mathbf{x}\mid \mathbf{\theta }),\mathbf{\theta }$ 为 $m$ 维的分布参数。有了一组样本 ${\mathbf{X}}_1,{\mathbf{X}}_2,\dots ,{\mathbf{X}}_n$ 后，似然函数 为
$$L(\mathbf{\theta })=\prod _{i=1}^{n}p\left({\mathbf{X}}_i\mid \mathbf{\theta }\right)$$
对数似然函数为
$$l(\mathbf{\theta })=\sum _{i=1}^n\ln p\left({\mathbf{X}}_i\mid \mathbf{\theta }\right)$$

最大化的步骤通过对$l(\mathbf{\theta })$求导等于0来解得。

1.2 示例

• 例1：设 $X\sim b(1,p),X_1,\dots ,X_n$ 是来自 $X$ 的一个样本， $x_1,\dots ,x_n$ 为观察值。试求参数 $p$ 的最大似然 估计。
  解：可知 $X$ 的分布律为:
  $$P\{X=x\}=p^x(1-p{)}^{1-x}$$
  故似然函数为：
  $$\begin{array}{rl}& L(p\mid \mathbf{x})=\prod _{i=1}^n{p}^{x_i}(1-p{)}^{1-x_i}=p^{{\sum }_{i=1}^n{x}_i}(1-p{)}^{n-{\sum }_{i=1}^n{x}_i}\\ & \ln L(p\mid \mathbf{x})=\sum _{i=1}^n{x}_i\ln p+\left(n-\sum _{i=1}^n{x}_i\right)\ln (1-\mathrm{p})\end{array}$$
  对待估参数求导为 0 , 有：
  $$\frac{d}{dp}\ln L(p\mid \mathbf{x})=\frac{{\sum }_{i=1}^n{x}_i}{p}-\frac{n-{\sum }_{i=1}^n{x}_i}{1-p}=0$$
  解得 $p$ 的最大似然估计值为 $\hat{p}=\bar{x}$ ，最大估计量为 $\hat{p}=\bar{X}$.

• 例2： 设 $X\sim N\left(\mu ,{\sigma }^2\right),\mu ,{\sigma }^2$ 为未知参数, $x_1,\dots ,x_n$ 为来自 $X$ 的一组观察值, 求 $\mu ,{\sigma }^2$ 的最大似然估计量。
  解：$X$ 的概率密度为
  $$f\left(x;\mu ,{\sigma }^2\right)=\frac{1}{\sqrt{2\pi }\sigma }{e}^{-\frac{(x-\mu {)}^2}{2{\sigma }^2}}$$
  似然函数为:
  $$\begin{array}{c}L(\mathbf{\mu },\mathbf{\sigma }\mid \mathbf{x})=\prod _{i=1}^n\frac{1}{\sqrt{2\pi }\sigma }{e}^{-\frac{{\left(x_i-\mu \right)}^2}{2{\sigma }^2}}\\ \ln L(\mathbf{\mu },\mathbf{\sigma }\mid \mathbf{x})=-\mathrm{nln}\sqrt{2\pi }\sigma -\frac{1}{2{\sigma }^2}\sum _{i=1}^n{\left(x_i-\mu \right)}^2\\ \{\begin{array}{c}\frac{d}{d\mu }\ln L(\mathbf{\mu },\mathbf{\sigma }\mid \mathbf{x})=\frac{1}{2{\sigma }^2}2{\sum }_{i=1}^n\left(x_i-\mu \right)=0\\ \frac{d}{d\sigma }\ln L(\mathbf{\mu },\mathbf{\sigma }\mid \mathbf{x})=-\frac{n}{\sigma }+\frac{1}{{\sigma }^3}2{\sum }_{i=1}^n{\left(x_i-\mu \right)}^2=0\end{array}\end{array}$$
  最后解得：
  $$\{\begin{array}{c}\mu =\bar{x}\\ {\sigma }^2=\frac{1}{n}{\sum }_{i=1}^n{\left(x_i-\mu \right)}^2\end{array}$$
  因此得到 $\mu ,{\sigma }^2$ 的最大似然估计量分别为
  $$\hat{\mu }=\bar{X},{\hat{\sigma }}^2=\frac{1}{n}\sum _{i=1}^n{\left(X_i-\bar{X}\right)}^2$$

• 例3 (多项分布)： 设 $X$ 取值于 $\{1,2,3,4\}$, 分布概率为 $p(x\mid \theta )\triangleq {\pi }_x(\theta ):$
  $$\begin{array}{rlrl}{\pi }_1(\theta )& =\frac{1}{4}(2+\theta ),& {\pi }_2(\theta )& =\frac{1}{4}(1-\theta )\\ {\pi }_3(\theta )& =\frac{1}{4}(1-\theta ),& {\pi }_4(\theta )& =\frac{1}{4}\theta \end{array}$$
  设 $n$ 次试验得到的 $X$ 值有 $n_j$ 个 $j(j=1,2,3,4)$ ，求参数 $\theta$ 的最大似然估计。

  解：观测数据的对数似然函数为(去掉了与参数无关的加性常数)
  $$l(\theta )=n_1\ln (2+\theta )+\left(n_2+n_3\right)\ln (1-\theta )+n_4\ln \theta .$$
  令 $l^{\prime }(\theta )=0$ 得到一个关于 $\theta$ 的二次方程，由此写出 $\mathrm{argmax}l(\theta )$ 的解析表达式:
  $$l^{\prime }(\theta )=\frac{n_1}{2+\theta }-\frac{n_2+n_3}{1-\theta }+\frac{n_4}{\theta }$$
  令 $l^{\prime }(\theta )=0$ ，即求解二次方程
  $$n{\theta }^2+\left(-n_1+2n_2+2n_3+n_4\right)\theta -2n_4=0.$$
  得最大似然估计为
  $$\hat{\theta }=\frac{-b+\sqrt{b^2+8n{n}_4}}{2n}$$
  其中 $b=-n_1+2n_2+2n_3+n_4$ 。

2. EM算法

2.1 原理

EM算法最初用于缺失数据模型参数估计，现在已经用在许多优化问题中。设模型中包含 ${\mathbf{X}}_{\text{obs }}和{\mathbf{X}}_{\mathrm{mis}}$ 两个 随机成分， 有联合密度函数或概率函数 $f\left({\mathbf{x}}_{\mathrm{obs}},{\mathbf{x}}_{\mathrm{mis}}\mid \mathbf{\theta }\right),\mathbf{\theta }$ 为未知参数。称 $f\left({\mathbf{x}}_{\mathrm{obs}},{\mathbf{x}}_{\mathrm{mis}}\mid \mathbf{\theta }\right)$ 为完全数据的 密度，一般具有简单的形式。实际上我们只有 ${\mathbf{X}}_{\mathrm{obs}}$ 的观测数据 ${\mathbf{X}}_{\mathrm{obs}}={\mathbf{x}}_{\mathrm{obs}}，{\mathbf{X}}_{\mathrm{mis}}$ 不能观测得到， 这一 部分可能是缺失观测数据，也可能是潜在影响因素。所以实际的似然函数为
$$L(\mathbf{\theta })=f\left({\mathbf{x}}_{\mathrm{obs}}\mid \mathbf{\theta }\right)=\int f\left({\mathbf{x}}_{\mathrm{obs}},{\mathbf{x}}_{\mathrm{mis}}\mid \mathbf{\theta }\right)d{\mathbf{x}}_{\mathrm{mis}},\text{\hspace{1em}(1)}$$
这个似然函数通常比完全数据的似然函数复杂得多，所以很难直接从 $L(\mathbf{\theta })$ 求最大似然估计。

EM算法的想法是，已经有了参数的近似估计值 ${\mathbf{\theta }}^{(t)}$ 后， 假设 $\left({\mathbf{X}}_{\mathrm{obs}},{\mathbf{X}}_{\mathrm{mis}}\right)$ 近似服从完全密度 $f\left({\mathbf{x}}_{\mathrm{obs}},{\mathbf{x}}_{\mathrm{mis}}\mid {\mathbf{\theta }}^{(t)}\right)$, 这里 ${\mathbf{X}}_{\mathrm{obs}}={\mathbf{x}}_{\mathrm{obs}}$ 已知，所以认为 ${\mathbf{X}}_{\mathrm{mis}}$ 近似服从由 $f\left({\mathbf{x}}_{\mathrm{obs}},{\mathbf{x}}_{\mathrm{mis}}\mid {\mathbf{\theta }}^{(t)}\right)$ 导出的条件分 布
$$f\left({\mathbf{x}}_{\mathrm{mis}}\mid {\mathbf{x}}_{\mathrm{obs}},{\mathbf{\theta }}^{(t)}\right)=\frac{f\left({\mathbf{x}}_{\mathrm{obs}},{\mathbf{x}}_{\mathrm{mis}}\mid {\mathbf{\theta }}^{(t)}\right)}{f\left({\mathbf{x}}_{\mathrm{obs}}\mid {\mathbf{\theta }}^{(t)}\right)}\text{\hspace{1em}(2)}$$
其中 $f\left({\mathbf{x}}_{\mathrm{obs}}\mid {\mathbf{\theta }}^{(t)}\right)$ 是由 $f\left({\mathbf{x}}_{\mathrm{obs}},{\mathbf{x}}_{\mathrm{mis}}\mid {\mathbf{\theta }}^{(t)}\right)$ 决定的边缘密度。据此近似条件分布，在完全数据对数似然函数 $\ln f\left({\mathbf{X}}_{\mathrm{obs}},{\mathbf{X}}_{\mathrm{mis}}\mid \mathbf{\theta }\right)$ 中， 把 ${\mathbf{X}}_{\mathrm{obs}}={\mathbf{x}}_{\mathrm{obs}}$ 看成已知， 关于未知部分 ${\mathbf{X}}_{\mathrm{mis}}$ 按密度 $f\left({\mathbf{x}}_{\mathrm{mis}}\mid {\mathbf{x}}_{\mathrm{obs}},{\mathbf{\theta }}^{(t)}\right)$ 求期 望，得到 $\mathbf{\theta }$ 的函数 $Q_t(\mathbf{\theta })$ ，再求 $Q_t(\mathbf{\theta })$ 的最大值点作为下一个 ${\mathbf{\theta }}^{(t+1)}$ 。

EM算法每次迭代有如下的E步（期望步）和M步（最大化步）：

• E步: 计算完全数据对数似然函数的期望 $Q_t(\mathbf{\theta })=E\left\{\ln f\left({\mathbf{x}}_{\mathrm{obs}},{\mathbf{X}}_{\mathrm{mis}}\mid \mathbf{\theta }\right)\right\}$, 其中期望针对随机变量 ${\mathbf{X}}_{\mathrm{mis}}$ ， 求期望时假定 ${\mathbf{X}}_{\mathrm{mis}}$ 服从条件密度 $f\left({\mathbf{x}}_{\mathrm{mis}}\mid {\mathbf{x}}_{\mathrm{obs}},{\mathbf{\theta }}^{(t)}\right)$ 决定的分布。
• M步: 求 $Q_t(\mathbf{\theta })$ 的最大值点，记为 ${\mathbf{\theta }}^{(t+1)}$ ， 迭代进入下一步。

定理1： EM算法得到的估计序列 ${\mathbf{\theta }}^{(t)}$ 使得公式(1)中的似然函数值 $L\left({\mathbf{\theta }}^{(t)}\right)$ 单调不减。
证明: 对任意参数 $\mathbf{\theta }$ ，有
$$\begin{array}{rl}\ln L(\theta )=& \ln f\left({\mathbf{x}}_{\mathrm{obs}}\mid \theta \right)\cdot \int f\left({\mathbf{x}}_{\mathrm{mis}}\mid {\mathbf{x}}_{\mathrm{obs}},{\mathbf{\theta }}^{(t)}\right)d{\mathbf{x}}_{\mathrm{mis}}\\ =& \ln \frac{f\left({\mathbf{x}}_{\mathrm{obs}},{\mathbf{x}}_{\mathrm{mis}}\mid \mathbf{\theta }\right)}{f\left({\mathbf{x}}_{\mathrm{mis}}\mid {\mathbf{x}}_{\mathrm{obs}},\mathbf{\theta }\right)}\int f\left({\mathbf{x}}_{\mathrm{mis}}\mid {\mathbf{x}}_{\mathrm{obs}},{\mathbf{\theta }}^{(t)}\right)d{\mathbf{x}}_{\mathrm{mis}}\\ =& \int \left[\ln f\left({\mathbf{x}}_{\mathrm{obs}},{\mathbf{x}}_{\mathrm{mis}}\mid \mathbf{\theta }\right)-\ln f\left({\mathbf{x}}_{\mathrm{mis}}\mid {\mathbf{x}}_{\mathrm{obs}},\mathbf{\theta }\right)\right]f\left({\mathbf{x}}_{\mathrm{mis}}\mid {\mathbf{x}}_{\mathrm{obs}},{\mathbf{\theta }}^{(t)}\right)d{\mathbf{x}}_{\mathrm{mis}}\\ =& \int \ln f\left({\mathbf{x}}_{\mathrm{obs}},{\mathbf{x}}_{\mathrm{mis}}\mid \mathbf{\theta }\right)f\left({\mathbf{x}}_{\mathrm{mis}}\mid {\mathbf{x}}_{\mathrm{obs}},{\mathbf{\theta }}^{(t)}\right)d{\mathbf{x}}_{\mathrm{mis}}\\ & -\int \ln f\left({\mathbf{x}}_{\mathrm{mis}}\mid {\mathbf{x}}_{\mathrm{obs}},\mathbf{\theta }\right)f\left({\mathbf{x}}_{\mathrm{mis}}\mid {\mathbf{x}}_{\mathrm{obs}},{\mathbf{\theta }}^{(t)}\right)d{\mathbf{x}}_{\mathrm{mis}}\\ =& Q_t(\mathbf{\theta })-\int \ln f\left({\mathbf{x}}_{\mathrm{mis}}\mid {\mathbf{x}}_{\mathrm{obs}},\mathbf{\theta }\right)f\left({\mathbf{x}}_{\mathrm{mis}}\mid {\mathbf{x}}_{\mathrm{obs}},{\mathbf{\theta }}^{(t)}\right)d{\mathbf{x}}_{\mathrm{mis}}\end{array}$$
由信息不等式知
$$\begin{array}{rl}& \int \ln f\left({\mathbf{x}}_{\mathrm{mis}}\mid {\mathbf{x}}_{\mathrm{obs}},\mathbf{\theta }\right)f\left({\mathbf{x}}_{\mathrm{mis}}\mid {\mathbf{x}}_{\mathrm{obs}},{\mathbf{\theta }}^{(t)}\right)d{\mathbf{x}}_{\mathrm{mis}}\\ \le & \int \ln f\left({\mathbf{x}}_{\mathrm{mis}}\mid {\mathbf{x}}_{\mathrm{obs}},{\mathbf{\theta }}^{(t)}\right)f\left({\mathbf{x}}_{\mathrm{mis}}\mid {\mathbf{x}}_{\mathrm{obs}},{\mathbf{\theta }}^{(t)}\right)d{\mathbf{x}}_{\mathrm{mis}}\end{array}$$
又EM迭代使得 $Q_t\left({\mathbf{\theta }}^{(t+1)}\right)\ge Q_t\left({\mathbf{\theta }}^{(t)}\right)$, 所以
$$\begin{array}{rl}\ln L\left({\mathbf{\theta }}^{(t+1)}\right)& \ge Q_t\left({\mathbf{\theta }}^{(t)}\right)-\int \ln f\left({\mathbf{x}}_{\mathrm{mis}}\mid {\mathbf{x}}_{\mathrm{obs}},{\mathbf{\theta }}^{(t)}\right)f\left({\mathbf{x}}_{\mathrm{mis}}\mid {\mathbf{x}}_{\mathrm{obs}},{\mathbf{\theta }}^{(t)}\right)d{\mathbf{x}}_{\mathrm{mis}}\\ & =\ln L\left({\mathbf{\theta }}^{(t)}\right).\end{array}$$

定理证毕。

在适当正则性条件下， EM算法的迭代序列依概率收敛到${\theta }^{(t)}$的最大值点。 但是， 定理（1）仅保证EM算法最终能收敛， 但不能保证EM算法会收敛到似然函数的全局最大值点， 算法也可能收敛到局部极大值点或者鞍点。

在实际问题中， 往往E步和M步都比较简单， 有时E步和M步都有解析表达式， 这时EM算法实现很简单。 EM算法优点是计算稳定， 可以保持原有的参数约束， 缺点是收敛可能很慢， 尤其是接近最大值点时可能收敛更慢。 如果公式（1）中的似然函数不是凸函数， 算法可能收敛不到全局最大值点， 遇到这样的问题可以多取不同初值比较， 用矩估计等合适的近似值作为初值。

原理暂时看不懂没关系，结合后面例题看就更容易懂了。

2.2 示例

(混合分布) EM算法可以用来估计混合分布的参数。 设随机变量 $Y_1\sim \mathrm{N}\left({\mu }_1,{\delta }_1\right),Y_2\sim \mathrm{N}\left({\mu }_2,{\delta }_2\right)$, $Y_1,Y_2$ 独立。记 $N(\mu ,\delta )$ 的密度为 $f(x\mid \mu ,\delta )$ 。设随机变量 $W\sim \mathrm{b}(1,\lambda ),0<\lambda <1,W$ 与 $Y_1,Y_2$ 独立，令
$$X=(1-W)Y_1+W{Y}_2,$$
则 $W=0$ 条件下 $X\sim \mathrm{N}\left({\mu }_1,{\delta }_1\right),W=1$ 条件下 $X\sim \mathrm{N}\left({\mu }_2,{\delta }_2\right)$, 但 $X$ 的边缘密度为
$$f(x\mid \mathbf{\theta })=(1-\lambda )f\left(x\mid {\mu }_1,{\delta }_1\right)+\lambda f\left(x\mid {\mu }_2,{\delta }_2\right),$$
其中 $\mathbf{\theta }=\left({\mu }_1,{\delta }_1,{\mu }_2,{\delta }_2,\lambda \right)$ 。

设 $X$ 有样本 $\mathbf{X}=\left(X_1,\dots ,X_n\right)$, 样本值为 $\mathbf{x}$ ， 实际观测数据的似然函数为
$$L(\mathbf{\theta })=\prod _{i=1}^{n}f\left(x_i\mid \mathbf{\theta }\right)$$
这个函数是光滑函数但是形状很复杂， 直接求极值很容易停留在局部极值点。
用EM算法，以 $\mathbf{W}=\left(W_1,\dots ,W_n\right)$ 为没有观测到的部分, 完全数据的似然函数和对数似然函数为
$$\begin{array}{rl}\tilde{L}(\mathbf{\theta }\mid \mathbf{x},\mathbf{W})=& \prod _{W_i=0}f\left(x_i\mid {\mu }_1,{\delta }_1\right)\prod _{W_i=1}f\left(x_i\mid {\mu }_2,{\delta }_2\right){\lambda }^{{\sum }_{i=1}^n{W}_i}(1-\lambda {)}^{n-{\sum }_{i=1}^n{W}_i}\\ \tilde{l}(\mathbf{\theta }\mid \mathbf{x},\mathbf{W})=& \sum _{i=1}^n\left[\left(1-W_i\right)\log f\left(x_i\mid {\mu }_1,{\delta }_1\right)+W_i\log f\left(x_i\mid {\mu }_2,{\delta }_2\right)\right]\\ & +\left(\sum _{i=1}^n{W}_i\right)\log \lambda +\left(n-\sum _{i=1}^n{W}_i\right)\log (1-\lambda )\end{array}$$
在E步，设已有 $\mathbf{\theta }$ 的近似值 ${\mathbf{\theta }}^{(t)}=\left({\mu }_1^{(t)},{\delta }_1^{(t)},{\mu }_2^{(t)},{\delta }_2^{(t)},{\lambda }^{(t)}\right)$, 以 ${\mathbf{\theta }}^{(t)}$ 为分布参数，在 $\mathbf{X}=\mathbf{x}$ 条件下， ${\mathbf{W}}_i$ 的 条件分布为
$$\begin{array}{rl}{\gamma }_i^{(t)}& \triangleq P\left(W_i=1\mid \mathbf{x},{\mathbf{\theta }}^{(t)}\right)=P\left(W_i=1\mid X_i=x_i,{\mathbf{\theta }}^{(t)}\right)\\ & =\frac{{\lambda }^{(t)}f\left(x_i\mid {\mu }_2^{(t)},{\delta }_2^{(t)}\right)}{\left(1-{\lambda }^{(t)}\right)f\left(x_i\mid {\mu }_1^{(t)},{\delta }_1^{(t)}\right)+{\lambda }^{(t)}f\left(x_i\mid {\mu }_2^{(t)},{\delta }_2^{(t)}\right)}.\end{array}$$
这里的推导类似于逆概率公式。利用 $W_i$ 的条件分布求完全数据对数似然的期望，得
$$\begin{array}{rl}{Q}_t(\mathbf{\theta })=& \sum _{i=1}^n\left[\left(1-{\gamma }_i^{(t)}\right)\log f\left(x_i\mid {\mu }_1,{\delta }_1\right)+{\gamma }_i^{(t)}\log f\left(x_i\mid {\mu }_2,{\delta }_2\right)\right]\\ & +\left(\sum _{i=1}^n{\gamma }_i^{(t)}\right)\log \lambda +\left(n-\sum _{i=1}^n{\gamma }_i^{(t)}\right)\log (1-\lambda ).\end{array}\text{\hspace{1em}(3)}$$
令 $\nabla Q_t(\mathbf{\theta })=0$ ，求得 $Q_t(\mathbf{\theta })$ 的最大值点 ${\mathbf{\theta }}^{(t+1)}$ 为
$$\{\begin{array}{l}{\mu }_1^{(t+1)}=\frac{{\sum }_{i=1}^n\left(1-{\gamma }_i^{(t)}\right)x_i}{{\sum }_{i=1}^n\left(1-{\gamma }_i^{(t)}\right)}\\ {\delta }_1^{(t+1)}=\frac{{\sum }_{i=1}^n\left(1-{\gamma }_i^{(t)}\right){\left(x_i-{\mu }_1^{(t+1)}\right)}^2}{{\sum }_{i=1}^n\left(1-{\gamma }_i^{(t)}\right)}\\ {\mu }_2^{(t+1)}=\frac{{\sum }_{i=1}^n{\gamma }_i^{(t)}{x}_i}{{\sum }_{i=1}^n{\gamma }_i^{(t)}}\\ {\delta }_2^{(t+1)}=\frac{{\sum }_{i=1}^n{\gamma }_i^{(t)}{\left(x_i-{\mu }_2^{(t+1)}\right)}^2}{{\sum }_{i=1}^n{\gamma }_i^{(t)}}\\ {\lambda }^{(t+1)}=\frac{1}{n}{\sum }_{i=1}^n{\gamma }_i^{(t)}\end{array}\text{\hspace{1em}(4)}$$
适当选取初值 ${\mathbf{\theta }}^{(0)}$ 用公式(3)和(4)迭代就可以计算 $\mathbf{\theta }$ 的最大似然估计。

• (多项分布)： 设 $X$ 取值于 $\{1,2,3,4\}$, 分布概率为 $p(x\mid \theta )\triangleq {\pi }_x(\theta ):$
  $$\begin{array}{rlrl}{\pi }_1(\theta )& =\frac{1}{4}(2+\theta ),& {\pi }_2(\theta )& =\frac{1}{4}(1-\theta )\\ {\pi }_3(\theta )& =\frac{1}{4}(1-\theta ),& {\pi }_4(\theta )& =\frac{1}{4}\theta \end{array}$$
  设 $n$ 次试验得到的 $X$ 值有 $n_j$ 个 $j(j=1,2,3,4)$ ，求参数 $\theta$ 的最大似然估计。

  $P(X=12)=\frac{1}{4}{\theta }_{\text{。 }}$ 这时 $Z_2+n_4$ 代表结果12和结果4的出现次数， 这两种结果出现概率为 $\frac{1}{2}\theta$ ，其它结 果 $(11,2,3)$ 的出现概率为 $1-\frac{1}{2}{\theta }_{\text{。 }}$ 令 $Y=Z_2+n_4$ ，则 $Y\sim \mathrm{B}\left(n,\frac{1}{2}\theta \right)$ 。
  数据 $\left(Z_1,Z_2,n_2,n_3,n_4\right)$ 的全似然函数为
  $$L_c(\theta )\propto {\left(\frac{1}{2}\right)}^{Z_1}{\left(\frac{\theta }{4}\right)}^{Z_2}{\left(\frac{1}{4}-\frac{\theta }{4}\right)}^{n_2+n_3}{\left(\frac{\theta }{4}\right)}^{n_4}$$
  对数似然函数 (差一个与 $\theta$ 无关的常数项) 为
  $$l_c(\theta )=\ln L_c(\theta )=\left(Z_2+n_4\right)\ln \theta +\left(n_2+n_3\right)\ln (1-\theta )$$
  在EM迭代中， 假设已经得到的参数 $\theta$ 近似值为 ${\theta }^{(t)}$ ， 设 $\theta ={\theta }^{(t)}$ ， 在给定 $n,n_1,n_2,n_3,n_4$ 条件下求 $l_c(\theta )$ 的 条件期望， 这时 $Z_2$ 的条件分布为
  $$\mathrm{B}\left(n_1,\frac{{\theta }^{(t)}}{2+{\theta }^{(t)}}\right),$$
  于是
  $$Z_2^{(t)}=E\left(Z_2\mid {\theta }^{(t)},n,n_1,n_2,n_3,n_4\right)=n_1\frac{{\theta }^{(t)}}{2+{\theta }^{(t)}},$$
  从而完全对数似然函数的条件期望为
  $$Q_t(\theta )=E\left(\ln L_c(\theta )\mid {\theta }^{(t)},n,n_1,n_2,n_3,n_4\right)=\left(Z_2^{(t)}+n_4\right)\ln \theta +\left(n_2+n_3\right)\ln (1-\theta ).$$
  求解 $Q_t(\theta )$ 的最大值，令
  $$\frac{d}{d\theta }{Q}_t(\theta )=\frac{n_4+Z_2^{(t)}}{\theta }-\frac{n_2+n_3}{1-\theta }=0$$
  得下一个参数近似值为
  $${\theta }^{(t+1)}=\frac{n_4+Z_2^{(t)}}{n_2+n_3+n_4+Z_2^{(t)}}.$$
  于是, EM迭代步骤从某个 ${\theta }^{(0)}$ 出发，比如 ${\theta }^{(0)}=\frac{1}{2}$ ， 在第 $t$ 步计算
  $$Z_2^{(t)}=n_1\frac{{\theta }^{(t)}}{2+{\theta }^{(t)}},{\theta }^{(t+1)}=\frac{n_4+Z_2^{(t)}}{n_2+n_3+n_4+Z_2^{(t)}}$$
  迭代到两次的近似参数值变化小于 $ϵ=10^{-6}$ 为止。