药方的量化方法笔记（学习与尝试）：第二回 第四次 药方的拆解 量化方法的形式的发展 对药的量化分析

药方拆解

皮炎湿疹荨麻疹相关药方

详细内容见 第二回 第三次，这里只保留文章的标题目录，因为文章中有太多 Latex 公式，所以编辑起来太卡了，只能分几次更新。）

全虫方 · 赵炳南

全虫方在 第二回 第二次 已经写给出，但是后面还要以它为例，给出上次提及的的方法二，所以为了阅读方便，这里重新再列出来一遍。

方中刺蒺藜 15-30g，取平均值22.5g；炒槐花 15-30g，取平均值 22.5g；威灵仙 12-30g，取平均值 21g。

药名	用量	药性	药味	归经	功效
全蝎	6g	平	辛	肝	息风_止痉_通络_止痛_攻毒_散结
皂角刺	12g	温	辛	肝,胃	消肿_托毒_排脓_杀虫
猪牙皂	6g	温	辛,咸	肺,大肠	祛痰_开窍_散结_消肿
蒺藜	22.5g	微温	苦,辛	肝	平肝_潜阳_疏肝_解郁_活血_祛风_明目_止痒
炒槐花	22.5g	微寒	苦	肝,大肠	凉血_止血_清肝_泻火
威灵仙	21g	温	辛,咸	膀胱	祛风_除湿_通络_止痛_消鱼鲠
苦参	6g	寒	苦	心,肝,胃,大肠,膀胱	清热_燥湿_杀虫_利尿
白鲜皮	15g	寒	苦	胃,脾,膀胱	清热_燥湿_祛风_解毒
黄柏	15g	寒	苦	肾,大肠,膀胱	清热_燥湿_泻火_解毒_除蒸_疗疮

量化方法形式的发展——方药用量的斟酌

$\text{注意，这只是一个试探，并没有临床的或者现实的经验，仅仅引起一个思考或者启发！！！}$
$\text{注意，这只是一个试探，并没有临床的或者现实的经验，仅仅引起一个思考或者启发！！！}$
$\text{注意，这只是一个试探，并没有临床的或者现实的经验，仅仅引起一个思考或者启发！！！}$

详细内容见上一次，这里只列出目录。

方法一：转化为熵函数在有约束条件下的最优化问题

详细内容见上一次，这里只列出目录。

方法二：拆分数的方法与方剂药量配比

拆分数的方法如何应用于方剂药物配比问题上呢？对于含有 $Q$ 味中药的药方，考虑如下函数
$$\begin{array}{l}y=\frac{1}{\left(1-{\zeta }_1\right)\left(1-{\zeta }_2\right)\dots \left(1-{\zeta }_Q\right)}=\prod _{m=1}^Q{\left(1-{\zeta }_m\right)}^{-1}\end{array}$$
如果展开 $y$ 为级数的形式，就可以得到
$$\begin{array}{lll}y& =& 1+\underset{\text{所有的 1 次项}}{{\zeta }_1+\cdots +\underset{1\le j_1\le Q}{{\zeta }_{j_1}}+\cdots +{\zeta }_Q}\\ & & \\ & +& \underset{\text{所有的 2 次项}}{{\zeta }_1{\zeta }_1+\cdots +\underset{1\le j_1,j_2\le Q}{{\zeta }_{j_1}{\zeta }_{j_2}}+\cdots +{\zeta }_Q{\zeta }_Q}\\ & & \\ & +& \dots \\ & & \\ & +& \underset{所有的k次项}{\underset{一共k个{\zeta }_1}{{\zeta }_1\dots {\zeta }_1}+\cdots +\underset{1\le j_1,\dots ,j_k\le Q}{{\zeta }_{j_1}\dots {\zeta }_{j_k}}+\cdots +\underset{一共k个{\zeta }_Q}{{\zeta }_Q\dots {\zeta }_Q}}\\ & & \\ & +& \dots \end{array}$$
其中，所有的 $1$ 次项表示只用 $1$ 份药，这份药来自 ${\zeta }_{j_1}$；所有的 $2$ 次项表示，用 $2$ 份药，一份来自 ${\zeta }_{j_1}$，一份来自 ${\zeta }_{j_2}$；所有的 $k$ 次项表示，用 $k$ 份药，一份来自 ${\zeta }_{j_1},\dots ,{\zeta }_{j_k}$ 各一份，以此类推。从公式中一看到，${\zeta }_{j_p}$ 与 ${\zeta }_{j_q}$ 可以是重复的，或者换句话说，${\zeta }_j$ 的幂次就代表了它在药方中的份数，即配比。

如果这个时候将药物的功效写做药方的功效，进行普通的乘法，就可以得到对应药剂配比下功效的配比。具体来讲就是，对于第 $m$ 味中药
$$\begin{array}{l}{\zeta }_m\to \prod _{e\in \text{第 m 味药的功效}}{\left({ϵ}_e\right)}^{P_m^e}\end{array}$$
其中，${ϵ}_e$ 表示药方中的第 $e$ 个功效，$P_m^e$ 为第二回第二次中的功效矩阵。有了上面的准备，只要将对应的药物进行普通乘法，就可以得到对应的功效配比。例如，两份全蝎和一份威灵仙，
$$\begin{array}{lll}{\zeta }_{全蝎}^2\times {\zeta }_{威灵仙}& =& {\left({ϵ}_{\text{息风}}\right)}^{\frac{2}{6}}{\left({ϵ}_{\text{止痉}}\right)}^{\frac{2}{6}}{\left({ϵ}_{\text{通络}}\right)}^{\frac{2}{6}}{\left({ϵ}_{\text{止痛}}\right)}^{\frac{2}{6}}{\left({ϵ}_{\text{攻毒}}\right)}^{\frac{2}{6}}{\left({ϵ}_{\text{散结}}\right)}^{\frac{2}{6}}\\ & & \\ & & \times {\left({ϵ}_{\text{祛风}}\right)}^{\frac{1}{5}}{\left({ϵ}_{\text{除湿}}\right)}^{\frac{1}{5}}{\left({ϵ}_{\text{通络}}\right)}^{\frac{1}{5}}{\left({ϵ}_{\text{止痛}}\right)}^{\frac{1}{5}}{\left({ϵ}_{\text{消鱼鲠}}\right)}^{\frac{1}{5}}\\ & & \\ & =& {\left({ϵ}_{\text{息风}}\right)}^{\frac{1}{3}}{\left({ϵ}_{\text{止痉}}\right)}^{\frac{1}{3}}{\left({ϵ}_{\text{通络}}\right)}^{\frac{8}{15}}{\left({ϵ}_{\text{止痛}}\right)}^{\frac{8}{15}}{\left({ϵ}_{\text{攻毒}}\right)}^{\frac{1}{3}}{\left({ϵ}_{\text{散结}}\right)}^{\frac{1}{3}}{\left({ϵ}_{\text{祛风}}\right)}^{\frac{1}{5}}{\left({ϵ}_{\text{除湿}}\right)}^{\frac{1}{5}}{\left({ϵ}_{\text{消鱼鲠}}\right)}^{\frac{1}{5}}\end{array}$$
它的意思是，这个组合息风的占比为 $1/3$， 止痉的占比为 $1/3$，通络的占比结合了二者之和，为 $8/15$，以此类推。

函数 $y={\prod }_{m=1}^Q{\left(1-{\zeta }_m\right)}^{-1}$ 的幂级数展开涵盖了所有可能的组合。未知数 $\zeta$ 的总幂次表示用药的总份数。一次幂项表示只选取1份药的功效，也只能选择一种药；二次幂项表示只选取2份药的功效，这两份药可能是1种药，也可能是2种药。每一个未知数 ${\zeta }_m$ 自己的幂次，则表示自己在总份数中所占的份数。随着幂次的升高，用药种类和药量搭配的组合会迅速变大，不过随着份数越来越细，所以各味药剂的配比也会越来越细致。

再换一个角度来看 $y$。先考虑其中的因子 $1/\left(1-{\zeta }_m\right)$ 的级数
$$\begin{array}{l}\frac{1}{1-{\zeta }_m}=1+{\zeta }_m+{\zeta }_m^2+{\zeta }_m^3+\cdots +{\zeta }_m^k+\dots \end{array}$$
它可以看成是不用第 $m$ 味药，使用 $1$ 份第 $m$ 味药，使用 $2$ 份第 $m$ 味药，使用 $3$ 份第 $m$ 味药，$\dots$，使用 $k$ 份第 $m$ 味药，以此类推。所以，函数 $y$ 的级数为
$$\begin{array}{lll}y& =& \frac{1}{1-{\zeta }_1}\dots \frac{1}{1-{\zeta }_Q}\\ & & \\ & =& \left(1+{\zeta }_1+{\zeta }_1^2+{\zeta }_1^3+\cdots +{\zeta }_1^k+\dots \right)\dots \left(1+{\zeta }_Q+{\zeta }_Q^2+{\zeta }_Q^3+\cdots +{\zeta }_Q^k+\dots \right)\\ & & \\ & =& 1+\cdots +\left({\zeta }_1^{j_1}\dots {\zeta }_Q^{j_Q}\right)+\dots \end{array}$$
由此可以看出，$y$ 的每一项都表示使用第 $1$ 味药 $j_1$ 份，$\dots$，第 $Q$ 味药 $j_Q$ 份。$y$ 就是在限定的 $Q$ 味药中，所有可能的配比的总和。

这一段的代码本来打算忠实于前面的公式编写，可是 SymPy 包可以实现符号运算，可是它展开级数的表现太慢了。不过，前面说过，实际上就是给定的总份数下，找到药方的药物占各种可能份数的全组合。所以，这里的思路是，在给定总份数下，给出所有可能的拆分数。然后，根据拆分数的个数，选出药的味数。例如，全虫方中一共9味药，如果药方总质量平均分配成20份，其中的一个拆分数是 $12+3+2+1+1+1=20$，那么这组拆分数就是代表从原方的 $9$ 味药中选取 $6$ 味，每一味的占比分别是 $12,3,2,1,1,1$；如果某组拆分数为 $7+3+2+2+2+1+1+1+1=20$ 就表示原方的 $9$ 味药同时取用，每味药的占比分别为 $7,3,2,2,2,1,1,1,1$；如果某组拆分数为 $5+3+3+2+2+1+1+1+1+1=20$，这组拆分数是 $10$ 个数组成的，而原方中只有 $9$ 味药，所以这组拆分数不是可能的拆分，不被允许。同时，考虑到药方中份数表示占比，所以会除以最大公约数。例如，$20$ 拆分为 $10,4,6$ 时，会被除以最大公约数 $2$，得到 $5,2,3$。最后，给出从药方中选出的药的全排列，以字典的方式，搭配对应的那组除以过最大公约数拆分数。之所以，以字典的方式，是因为 python 中关键字和数值相同的字典，被看做相同的字典。例如，{“黄芪”: 2, “白术”: 1, “防风”: 1} 与 {“黄芪”: 2, “防风”: 1, “白术”: 1}，虽然防风和白术的顺序调整了，但是它们是相同的字典。

# 函数 __partitions__ 为引用别人的代码
# Chris Smith, Tim Peters, https://code.activestate.com/recipes/218332-generator-for-integer-partitions/
# 给出所有整数 n 的拆分数，其中每个拆分数的不大于 k，也可以没有这个要求。
def __partitions__(n, k=None):
    """Generate all partitions of integer n (>= 0) using integers no
    greater than k (default, None, allows the partition to contain n).
    Each partition is represented as a multiset, i.e. a dictionary
    mapping an integer to the number of copies of that integer in
    the partition.  For example, the partitions of 4 are {4: 1},
    {3: 1, 1: 1}, {2: 2}, {2: 1, 1: 2}, and {1: 4} corresponding to
    [4], [1, 3], [2, 2], [1, 1, 2] and [1, 1, 1, 1], respectively.
    In general, sum(k * v for k, v in a_partition.iteritems()) == n, and
    len(a_partition) is never larger than about sqrt(2*n).
    Note that the _same_ dictionary object is returned each time.
    This is for speed:  generating each partition goes quickly,
    taking constant time independent of n. If you want to build a list
    of returned values then use .copy() to get copies of the returned
    values:
    >>> p_all = []
    >>> for p in partitions(6, 2):
    ...         p_all.append(p.copy())
    ...
    >>> print p_all
    [{2: 3}, {1: 2, 2: 2}, {1: 4, 2: 1}, {1: 6}]
    Reference
    ---------
    Modified from Tim Peter's posting to accomodate a k value:
    http://code.activestate.com/recipes/218332/
    """
    if n < 0:
        raise ValueError("n must be >= 0")
    if n == 0:
        yield {}
        return
    if k is None or k > n:
        k = n
    q, r = divmod(n, k)
    ms = {k : q}
    keys = [k]
    if r:
        ms[r] = 1
        keys.append(r)
    yield ms
    while keys != [1]:
        # Reuse any 1's.
        if keys[-1] == 1:
            del keys[-1]
            reuse = ms.pop(1)
        else:
            reuse = 0
        # Let i be the smallest key larger than 1.  Reuse one
        # instance of i.
        i = keys[-1]
        newcount = ms[i] = ms[i] - 1
        reuse += i
        if newcount == 0:
            del keys[-1], ms[i]
        # Break the remainder into pieces of size i-1.
        i -= 1
        q, r = divmod(reuse, i)
        ms[i] = q
        keys.append(i)
        if r:
            ms[r] = 1
            keys.append(r)
        yield ms

# 根据上面的函数，得到一个整数拆分后的 list
def partitions(n_, k_=None) -> list:
    p_all_ = list()
    for p_ in __partitions__(n_, k_):
        p_all_.append(p_.copy())
    return p_all_

# 求出一组数的最大公约数
import sympy as sym
def gcd_of_a_list_or_tuple(vars_):
    if len(vars_) <= 1:
        return 1
    else:
        code_ = "sym.igcd(vars_[0]"
        for i_ in range(1, len(vars_)):
            code_= code_ + ', vars_[' + str(i_) + ']'
        code_ = code_ + ')'
        return eval(code_)

# 给出药方 medicines 总共平均分成 shares 份，所有可能的分法。
from itertools import permutations
def all_permitted_proportions(medicines, shares) -> list:

	# 得到 shares 份的所有拆分数
	partition = partitions(shares) 
    partition = [list(partition[p].items()) for p in range(0, len(partition))]
    
	# 选出拆分数的个数不多余药方中药材味数的情况
    ks = np.array([sum([partition[p][i][1] for i in range(0, len(partition[p]))]) for p in range(0, len(partition))])
    positions = np.where(ks <= len(medicines))
    partition = list(np.array(partition, dtype=list)[positions])
    ks = list(ks[positions])
    ks = [int(ks[i]) for i in range(0, len(ks))]
    
	# 按照选中的药材味数排序
    partition.sort(key=lambda x: sum([x[i][1] for i in range(0, len(x))]))
    ks.sort()
	
    all_proportions = list() # 用于记录所有可能的配比
    for p in range(0, len(partition)):
        proportion = list()
        for i in range(0, len(partition[p])):
            proportion.extend([partition[p][i][0] for j in range(0, partition[p][i][1])])
        # 求出最大公约数，并除之
        gcd = gcd_of_a_list_or_tuple(proportion)
        proportion = [int(proportion[i] / gcd) for i in range(0, len(proportion))]
        proportion = tuple(proportion)
		# 求出从药方 medicines 中选出 ks[p] 味药的全排列
        pmtt = list(permutations(medicines, ks[p]))
        for i in range(0, len(pmtt)):
            proportion_dict = dict() # 
            for j in range(0, len(pmtt[i])):
                proportion_dict[pmtt[i][j]] = proportion[j]
            complement = list(set(medicines).symmetric_difference(pmtt[i]))
            for c in range(0, len(complement)):
                proportion_dict[complement[c]] = 0
            if proportion_dict not in pei_wu:
                all_proportions.append(proportion_dict)

    # 按照药材名排序
    for p in range(0, len(all_proportions)):
        all_proportions[p] = list(all_proportions[p].items())
        all_proportions[p].sort(key= lambda x: x[0])
    
    return all_proportions

# end

在运行代码之前，首先对药方所有可能的情况的数量级做一个大致估计。影响排列情况多少的，最主要的是两个因素。一个是药方药材种类的多少，一个是拆分数的个数。药方总量分的份数越多，拆分数的情况就越多。药方药材味数越多，排列就越多。尽管，在某些拆分下，某些药材占有的份数相同，所以有些排列会重复。如果忽略这些重复，仅粗略地估计一下所有可能的情况的多少，可以用下面的方法进行估计。根据国家中医药管理局2007年3月12日印发的《医院中药饮片管理规范》第三十一条规定，中药饮片调配每剂重量误差应当在±5%以内。换句话说，一剂药重量误差 ±5% 可以认为效果一样，这样来看，一剂药重量最大相差为 10%。如果将药的总量分成 20 份，这样每份占比就是 5%，拆分数变动一次至少一味药少 5%，另一味药多 5%，这跟总量误差10%相比，可以看做是药方上的一个明显的调整。所以，在份20份的情况下，在忽略一些重复的排列的情况下，可能出现的情况随着药方药材味数的增长情况，如下表所示。

方中药材的味数	可能的配比情况（总量 20 等分，粗略估计）	读数	对应书籍
1	1		一般中药材的手册、词典、伤寒杂病论（白云阁藏本，16 首）
2	22		张锡纯对药、施今墨对药、伤寒杂病论（白云阁藏本，39 首）
3	261		张锡纯对药、施今墨对药、伤寒杂病论（白云阁藏本，45 首）
4	2452		施今墨对药、伤寒杂病论（白云阁藏本，79 首）
5	19945	1 万 9 千	伤寒杂病论（白云阁藏本，56 首）
6	152586	15 万	伤寒杂病论（白云阁藏本，37 首）
7	1139677	113 万	伤寒杂病论（白云阁藏本，33 首）
8	8626696	862 万	伤寒杂病论（白云阁藏本，9 首）
9	66799377	6679 万	伤寒杂病论（白云阁藏本，8 首）
10	541461790	5 亿 4146 万	伤寒杂病论（白云阁藏本，4 首）
11	4588976821	45 亿 8897 万
12	41071200732	410 亿 7120 万	伤寒杂病论（白云阁藏本，2 首）
13	385871967481	3858 亿 7196 万
14	3863390901202	3,8633 亿 9090 万
15	40352035350285	40,3520 亿 3535 万

从表格中可以看到，药方可能的配比情况，随着方中药材味数的增加而极具膨胀。这意味着，多味数大药方的不确定性也是极具膨胀的。所以，谨慎地使用大药方是确保药效的重要手段。从伤寒杂病论的药方味数统计来看，超过 7 味药的药方急剧减少。伤寒杂病论中的药方，经历代医家千年反复验证大多屡试不爽，这也在一定程度上说明，药方味数不宜过多。

这次是代码太多了，网页编辑卡得要命，见下次。

方法一与方法二各自的特点与关系

这次是代码太多了，网页编辑卡得要命，见下次。

方法一与方法二的局限性

1. 计算量的局限性
2. 主要功能也存在区别