高斯消元法【Gaussian Elimination】

关键词：高斯消元法，变治法

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以下是本篇文章正文内容

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一、算法针对的问题和应用

1.应用一：解线性方程组
2.应用二：计算一个矩阵的逆
3.应用三：计算矩阵的行列式

二、算法介绍

1.算法讲解

（1）基本思路：
把n个线性方程构成的n元联立方程组变换为一个等价的方程组（方程的解不变），该方程组有着一个上三角形的系数矩阵，该系数矩阵的主对角线下方元素全部为0，然后进行反向替换，从xn，逐个求出原方程组的解。流程见下图：

（2）求解线性方程组的两个阶段。
【前向消失】

伪代码为：

【前向消失的改进】
上述算法仍存在：
问题一：并不总是正确
1>比例因子A[j,i]/A[i,i]的除0操作没能避免。
–>用第i行下面的某行与第i行进行交换，该行的第i个元素不为0

2>比例因子A[j,i]/A[i,i]太大，导致A[j,k]的新值会因为舍入误差而歪曲
–>部分选主元法：每次都去找第i列系数的绝对值最大的行，然后把它作为第i次迭代的起点，保证比例因子的绝对值永远不会大于1

问题二：最内层循环的效率太低
改进算法：

【反向替换】
首先从最后一个方程中可以立即求出xn的值；然后可以把这个值代入到倒数第二个方程来求xn-1，依此类推，直到把最后n-1个变量的已知值代入第一个方程，这样九求出了x1的值。

（3）实现高斯消元的另一种路径——LU分解
A：初始矩阵
L：下三角且主对角线为1的矩阵
U：上三角矩阵

已知：A=LU
实现过程：
Ax=b
LUx=b
令y=Ux
Ly=b =>易求出y
代入，Ux=y =>易求的x

（4）计算一个矩阵的逆
退化矩阵/奇异矩阵：不存在逆的矩阵
非退化矩阵：存在逆的矩阵
判断：当且仅当矩阵的某一行是其他行的一个线性组合时，该矩阵是一个退化矩阵。
用高斯消元法判断是否是退化矩阵：
如果高斯消元法生成的上三角矩阵的主对角线包含0，那该矩阵就是退化矩阵。
求一个非退化的n阶方阵A的逆矩阵：

（5）计算矩阵的行列式

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2.一些语言的代码实现

【待补充】

本文是作者在学习数据结构、算法设计与分析课程时，结合自己理解所写的，如有错误或补充，请在评论区留言。