【机器人学】基于PoE模型的串联机械臂UR5的正运动学、微分运动学和逆运动学

基本概念

• PoE(Product of Exponential)指数积公式。
• PoE和DH的作用都是一样的。
• 实际使用过程中，绝大多数在售的机器人还都是使用DH模型进行建模的，所以为了验证正确性，在选取螺旋轴的时候最好还是和DH模型方向对正。
• PoE模型的优势：更好的应用于并联机器人结构、不需要对中间关节进行建模，虽然描述量有4n(DH)变为了6n。
• 为了规范在使用PoE进行正运动学建模的时候一定要指明是相对于基座标系{s}还是末端坐标系{b}
• 螺旋轴上选择一点可以是任意的。

这里以UR5为例子，其中{b}{s}和旋转轴方向和UR5的厂家DH模型对齐，所以其正确性可以和真实机器人对照。

正运动学

UR5的PoE模型如下图所示。

但是图中并没有和真实的DH参数对齐，因此不方便验证其正确性。

所以参考->UR机械臂正逆运动学求解这篇博文的真实DH模型进行重新建模。
建模后：

验证结果，这里只展示任意一组关节角，对照DH建模和PoE建模的结果。

可以看出结果对应误差为10e-9，因此PoE建模正确。

源码

%% PoE-基座标系建模
% 参数
mm=pow(10,-3);
d4=109.15*mm;
d6=82.3*mm;
a2=425*mm;
a3=392.25*mm;
d1=89.459*mm;
d5=94.65*mm;

%M
R=[1 0 0;0 0 -1;0 1 0];
P=[-a2-a3;-d4-d6;d1-d5];
M=[R P;0 0 0 1];

%旋转轴
w6=[0;-1;0];
v6=-cross(w6,P);
S6=[w6;v6];

w5=[0;0;-1];
v5=-cross(w5,[-a2-a3;-d4;d1]);
S5=[w5;v5];

w4=[0;-1;0];
v4=-cross(w4,[-a2-a3;0;d1]);
S4=[w4;v4];

w3=[0;-1;0];
v3=-cross(w3,[-a2;0;d1]);
S3=[w3;v3];

w2=[0;-1;0];
v2=-cross(w2,[0;0;d1]);
S2=[w2;v2];

w1=[0;0;1];
v1=-cross(w1,[0;0;0]);
S1=[w1;v1];

theta=randpi(6);
disp(theta.')
PoE_model_FK=FKinSpace(M,[S1 S2 S3 S4 S5 S6],theta)

%% robotic toolbox
mdl_ur5;
DH_model_FK=ur5.fkine(theta)

%% compare
[error,~,~]=PosRotError(PoE_model_FK,mdlFK2Trans(DH_model_FK));
norm(error) 

一阶运动学

需要注意的是，PoE建模所定义的雅可比矩阵和DH建模所定义的雅可比矩阵是不同的。具体表在PoE建模的Js的第i列Jsi只是描述第i各关节相对于固定坐标系的旋量。

如果要和DH建模的UR5进比较验证其正确性则需要经过一些转化，这里直接给出结果。

可以看出结果是对应的，因此建模正确。
源码后续更新。