Hilbert矩阵

Hilbert矩阵是一个特殊的方阵，它的定义为：

其中，是Hilbert矩阵的阶数，和分别为元素所在的行数和列数。如果写开，将会是以下的形式：

 

Hilbert矩阵有一系列的特点：

（1）是实对称的正规矩阵，也是汉克尔矩阵；

（2）其逆矩阵和行列式精确已知，

         逆矩阵表达式为：

         行列式表达式为：

（3）病态严重，条件数随阶数增大而急速增大，较小的摄动会对逆矩阵或方程组的解产生明显的影响；

（4）可用hilb(n)的MATLAB命令产生一个Hilbert矩阵，如5阶Hilbert矩阵：

>> hilb(5)

ans =

    1.0000    0.5000    0.3333    0.2500    0.2000

    0.5000    0.3333    0.2500    0.2000    0.1667

    0.3333    0.2500    0.2000    0.1667    0.1429

    0.2500    0.2000    0.1667    0.1429    0.1250

    0.2000    0.1667    0.1429    0.1250    0.1111

（5）可用invhilb(n)求取n阶Hilbert矩阵的逆矩阵；

（6）用Hilbert矩阵作为系数矩阵构造方程组，可用高斯消元法和共轭谐量法求解，前者精确度更高。