粗糙集及其应用简述

1.相关概念(Concept)

1.1信息与决策系统( Information and Decision Systems)

信息系统可以被视为一个数据表，由表中的对象行和属性列组成。例如，在医疗数据集中，患者可以表示为对象和测量值，如血压，表单属性。特定患者的属性值是他们对该测量的特定读数。

信息系统可以通过包含决策属性来扩展，这样的系统被称为决策系统。例如，前面提到的医疗信息系统可以扩展为包括病人分类信息，例如病人是生病还是健康。决策系统的一个更抽象的例子可以在表2.1中找到。该表由四个条件属性(a、b、c、d)，一个决策属性(e)和八个对象组成。如果对于属性值相同的每一组对象，其相应的决策属性相同，则决策系统是一致的。

信息系统可以看做是一个数据表，由对象（行）和属性（列）组成。

I=(U,A)是一个信息系统，U是一个非空的有限对象集，A是一个非空的有限属性集。

a:U→V_a,(a∈A)表示从所有对象到属性的映射，V_a是所有样本的a属性的取值的集合。

决策系统I=(U, A), A=(C∪D)，C为条件属性，D为决策属性。

$$U=\{x_0,x_1,x_2,\dots ,x_7\}$$
$$A=\{a,b,c,d\}$$
$$a(x_0)=S,b(x_0)=R,c(x_0)=T,d(x_0)=T$$
$$V_a=V_b=V_c=V_d=\{R,S,T\}$$
举个例子（表格与图片对应）：

	语文	数学	英语	理综		学习努力程度
李华	好	中	差	差		中
大明	中	好	好	好		差
gogo	差	中	中	好		好
小明	好	好	中	差		差
喜羊羊	好	中	差	中		好
灰太狼	差	差	中	好		好
熊大	差	好	好	好		差
熊二	中	好	好	中		好

在这个表格中，语数英理综四者为条件属性，而学习努力程度为决策属性，8个人为对象

1.2不可分辨关系( Indiscernibility)

对于任意P ⊆ A都有一个相关的等价关系$IND(P)$:

注意,这个关系对应的等价关系两个对象是相等，当且仅当，它们在$P$中有相同的属性值。

以上表为例，倘若P=“语文”，则{李华，喜羊羊,小明}，{大明，熊二}，{gogo，灰太狼，熊大}分别为3个等价类，因为它们的属性值是相同的。U是由等价关系$IND(P)$决定划分的，被表示为$U/IND(P)$ 或者 $U/P$

不可分辨关系是一种等价关系（equivalence relationship），假如只看“数学”和“英语”两个属性，是没有办法把大明，熊大，熊二分辨出来的，可以理解为，三者在数学英语两个属性下存在等价关系，也就是不可分辨关系。

举个例子，对于2.8式，p={“数学”，“英语”}，则有：
（名字依次用标号表示）

先写出b的三个等价类的集合{{0, 2, 4},{1, 3, 6, 7},{5}}
再写出c的三个等价类的集合{{2, 3, 5},{1, 6, 7},{0, 4}}

再对二者进行$\otimes$运算（相当于找交集）意义上即为，对应的对象，b和c的值相应相同（在只看英语和数学的情况下，无法把{李华，喜羊羊}{大明，熊大，熊二}分辨出来）

实际上这就是一个求商集的过程

这样做的目的就是为了用尽量少的特征（属性）把尽可能多的对象分辨出来（例如，只用数学英语两个特征就把{gogo}这个等价类分辨出来了）

1.3上下近似( Lower and Upper Approximations)

令$X\subseteq U$。通过构造$▁PX和¯PX$，可以用$P$中包含的信息去近似$X$。

这样一个元组$(▁PX,¯PX)$被称为粗糙集。考虑图2.3中概念X的近似。图中的每个正方形代表一个等价类，由对象值之间的不可区分性生成。利用集合P中的特征，通过这些等价类，可以构造X的上下近似。包含在X中的等价类属于较低的近似。在这个区域内的对象可以说是绝对属于集合X的。在X内和沿其边界形成上近似的等价类。

再来举个例子：

	语文	数学	英语	理综		学习努力程度
李华	好	中	差	差		中
大明	中	好	好	好		差
gogo	差	中	中	好		好
小明	好	好	中	差		差
喜羊羊	好	中	差	中		好
灰太狼	差	差	中	好		好
熊大	差	好	好	好		差
熊二	中	好	好	中		好

下近似是选取U/P中X集合的子集的并集（可能有点绕，选取{2}{5}{3}{0,4}{1,6,7}，其中{2}{5}是X集合的子集，将{2}{5}取并集即可）

上近似是取跟X有交集的所有集合的交集

从具体意义上看，回到刚刚那个例子：

第一步是选取集合X，把努力程度为“好"的$\{gogo，喜羊羊，灰太狼，熊二\}$选取出来

第二步是选取条件属性{数学，英语}，通过这两个条件，写出具有不可分辨关系的

U/P={{2}, {0, 4}, {3}, {1, 6, 7}, {5}}

即：
$$\{\{gogo\}\{李华，大明\}\{小明\}\{大明，熊大，熊二\}\{灰太狼\}\}$$

第三步，分别求上近似，下近似

下近似为$$\{gogo,小明\}$$

下近似意义即为，数学和英语两个条件属性在决策属性为“高”的情况下一定能够被分辨出来的对象的集合的并集（为什么说“一定”呢？悲观主义者，就算其他两个条件属性完全不起作用，也可以根据这两个条件属性的组合，分辨出决策属性）

上近似为{李华，gogo，大明，熊大，熊二，灰太狼，喜羊羊}

上近似的意义即为，在决策属性为“好”的情况下，又可能能够分辨的对象的集合

接着上面的例子，可以把决策属性“学习努力程度”为“中”“低”的对象也分辨出来，如下所示：

	语文	数学	英语	理综		学习努力程度
李华	好	中	差	差		中
大明	中	好	好	好		差
gogo	差	中	中	好		好
小明	好	好	中	差		差
喜羊羊	好	中	差	中		好
灰太狼	差	差	中	好		好
熊大	差	好	好	好		差
熊二	中	好	好	中		好

1.4 正域、负域和边界域(Positive, Negative, and Boundary Regions)

设$P$和$Q$分别是条件属性和决策属性，$X\in U/Q$为$U$被$Q$划分出来的等价类。则正域、负域和边界域分别定义为：

正域是各个等价类的下近似的并集，表示划分完全正确的对象。
负域是各个等价类的上近似的并集的补，表示划分完全错误的对象。
边界域是上近似与下近似的差，表示划分不完全正确的对象。

举个例子：

1.5近似质量(Feature Dependency and Significance)

近似质量用于描述属性之间的依赖关系。若属性$Q$的值完全取决于$P$，则称$Q$由$P$决定，表示为$P\Rightarrow Q$。

应当注意的是，P 不一定是单个条件属性，如上面的例子所示，它有可能是一个集合。回到上面的例子：

	语文	数学	英语	理综		学习努力程度
李华	好	中	差	差		中
大明	中	好	好	好		差
gogo	差	中	中	好		好
小明	好	好	中	差		差
喜羊羊	好	中	差	中		好
灰太狼	差	差	中	好		好
熊大	差	好	好	好		差
熊二	中	好	好	中		好

通过对决策属性 e=S 下近似的求解，我们可以知道

即我们可以通过$Q=\{数学，英语\}$这两个条件属性，可以把$\{gogo，小明，灰太狼\}$分辨出来（数学差，英语中等即为学习努力程度好（？？））

一共有 8 个人，用 Q 属性可以把其中的 3 个正确划分，所以我们评价这两个属性的好坏程度，可以用 3/8 表示，即为近似质量 k

设, ⊂ A, 对的依赖程度为(0 ≤ ≤ 1)，表示为 ⇒ 。

若 = 1，则完全取决于，若0 < < 1，（以的程度）部分取决于。若 = 0，则不依赖于。

依照这种方式，继续求出其他的属性组合的近似质量:

通过计算当一个特征从集合中被删除时依赖度的变化，可以评估该特征的重要性,依赖度变化的越大，特征就越重要。

可见属性是不可缺少的，而在考虑与的相关性性时，和是可以省略的。

计算如下图所示：

1.6属性约简(Reducts)

对于许多应用问题，通常需要保持信息系统的简洁形式。实现这一点的方法是搜索原始数据集的最小表示。给定决策属性D，条件属性集C的约简R定义为:

$${\gamma }_R(D)={\gamma }_C(D),{\gamma }_{(}R-a)(D)\ne {\gamma }_R(D),(a\in R)$$

即在不影响依赖度的情况下，不能从R中移除任何属性了。
所有约简的集合为R_all，在后面也写为Red(C,D):
$$R_{a}ll=\{X|X\subseteq C,{\gamma }_X(D)={\gamma }_C(D);{\gamma }_{(}X-\{a\})(D)\ne {\gamma }_X(D),(a\in X)\}$$
R_all中所有集合的交集称为core，是无法消除的属性。
$$Core(C)=\cap R_{a}ll(C)$$
在许多任务中，我们要寻找具有最小基数的约简R_min：
$$R_{m}in=\{X|X\in R_{all},\forall Y\in R_{all},|X|\le |Y|\}$$

2.粗糙集属性约简(Rough Set Attribute Reduction（RASR）)

2.1QuickReduct

上面已经大概地讲清楚了如何进行属性约简,下面来具体看看例子:

选取三个以上属性的情况下：

选取两个属性：

选取一个属性

综上可看出：

选择{b,d}或是{c,d}即可

其算法为：

算法思路如下图所示：
很容易看出，根据这个算法，得到的属性为{a,c,d},但最简属性为{a,b}因此，此算法无法保证能获得最简属性

2.2 Reverse Reduct

算法思路如图所示：
每次找删除后依赖度下降最少的属性进行删除，直到${\gamma }_R(D)\ne {\gamma }_C(D)$时停止删除。

2.3 n-前瞻方法

算法思路：每次像$R$中添加1~n个元素，缺点也很明显，如下图所示，假如是$n=2$得到的将是{a,b},若$n=3$得到的将是$\{a,c,d\}$

2.4 广度优先搜索(Breadth-First Search)

即每一步遍历已有节点的所有相邻节点。
可以找到最小约简，但时间复杂度和空间复杂度都是O($branchFacto{r}^{depth})$)

2.5 深度优先搜索(Depth-First Search)

沿当前节点的相邻节点一直向前遍历，时间复杂度$O(branchFacto{r}^{depth})$，空间复杂度$O(depth)$

2.6 差分向量字典(Discernibility Vector Dictionaries)

统计正域内样本出现的频率来计算依赖度，降低开销。

考虑到RSAR需要处理高维和大量样本的数据集，数据集不会被显式读入主存.而是直接从外围存储器访问它们。今天使用的所有现代操作系统都有先进的缓存功能，如果可能的话，它可以有效地将数据从外设内存转移到主存。这在很大程度上简化了实现，因为在数据集中执行多次传递(每次对$\gamma$求值执行一次)。

属性只能有整数值，不支持字符串和实数。大多数整数操作都是所有现代计算平台固有的，并且整数比字符串或实数需要更少的空间。RSAR只处理离散值;实值和离散(字符串)标记可以使用小型预处理程序映射为整数值。这个设计决策还加快了从外围内存读取数据集的速度，加快并简化了将数据解析为令牌(属性值)的过程，简化了存储值所需的数据结构(使用动态的32位整数索引字典代替散列)，从而提高了总体处理速度。该实现还包括一系列高速、优化的传统集合理论算子。在过去的20年里，所有的微处理器都使用布尔运算来操作位串。这允许集合的高效、紧凑存储。

差分向量字典(DVD)是优化后的求值器的基础。它们源于对统计属性的依赖程度。式(2.16)中的分子$|POSP(Q)|$为使用属性子集可识别的数据集样本数，这样就把求分母的问题简化为计算可辨样本的数目。为此，利用了不可分辨的概念，给定属性a的子集和两个数据项$d,d^{\prime }\in U$，映射到类 ,生成数据向量$v,v^{\prime }$，如果 $A=\{a1,a2,...,an\}$ $v=<d-a1,d_{a2},...,d_{an}>$且$v^{\prime }=<d^{\prime }-a1,d_{a2}^{\prime },...,d_{an}^{\prime }>$。那么d和d’是可识别的，当且仅当:

在对特定属性子集求值的过程中，向量及其类通过读取数据集隐式获得。它们被记录在DVD里。DVD以$v-><c,f,i>$这种方式读入数据, $v$是一个数据向量,$c$是带有标签的类,$f$是$v$的频率,$v$遇到的次数的数据集到目前为止,$i$是一个布尔标志指示$v$是否满足$v->c^{\prime }$且$c^{\prime }!=c$ 。每一个遇到的数据向量都被添加到这个字典中，这个字典可能使用各种不同的数据结构来实现。这可能会出现组合爆炸，因为DVD索引的域是一个笛卡尔积。然而，由于数据集的定义是有限的，一个由L个样本组成的数据集最多有L个不同的数据向量。dvd是一种临时存储，仅在对特定属性子集的y求值期间可用。该算法概述在图5.3中。处理完所有数据集对象后，可以计算依赖关系：

以上感觉怪怪的文字翻译自外文资料（原谅我的翻译水平
下面是算法的思路：

下面来举个例子：
假设有$$X=\{x_1,x_2,x_3,x_4,x_5\}$$
被条件属性P分成以下几个等价类：$$X/P=\{\{x_1\},\{x_2,x_3\},\{x_4,x_5\}\}$$
而他们的决策属性为$$D=\{1,1,0,1,1\}$$
假如按照我们之前的下近似理论，通过计算应该为：$$\{x1,x4,x5\}$$
按照该算法流程：
$step1$ $$<p_{x1},1,true>$$
$step2$ $$<p_{x2},1,true>$$
$step3$ $$<p_{x3},2,false>取代<p_{x2},1,true>(x_2,x_3为等价类)$$
$step4$ $$<p_{x4},1,true>$$
$step5$ $$<p_{x4},2,true>取代<p_{x4},1,false>(x_4,x_5为等价类)$$
$output:DVD$
$$<p_{x1},1,true>$$
$$<p_{x3},2,false>$$
$$<p_{x4},2,true>$$
则其正域为:$$\{x1,x4,x5\}$$
代入公式即可：

2.7 变精度粗糙集属性约简(Reduction With Variable Precision Rough Sets)

$\beta$上近似和$\beta$下近似:
先来介绍一下相对误差：

X、Y均是集合，举个例子：
$$X=\{0,1,2,3\}$$
$$Y=\{0,1,2,5,6\}$$
则$$C(X,Y)=1-3/4=1/4$$
定义了$\beta$子集，当且仅当相对误差小于$\beta (\beta <=0.5)$的时候，$X$才是$Y$的$\beta$子集

一些例子：


这是之前求上下近似的方法：

根据这个方法：

假定$\beta =0.4$
$$C\{\{2\}\{X\}\}=0<\beta$$
$$C\{\{0,4\}\{X\}\}=0.5>\beta (不选取)$$
$$C\{\{3\}\{X\}\}=1>\beta$$
$$C\{\{1,6,7\}\{X\}\}=0.67>\beta (不选取)$$
$$C\{\{5\}\{X\}\}=0<\beta$$
则下近似为$$\{2,3,5\}$$

特别地，当β=0 即为原来的结果
$$▁PX=2,5$$
正域、负域、边界域、依赖度等计算同上:

2.8动态约简( Dynamic Reduct)

粗糙集对于样本的变化很敏感，例如正域的选择取决于等价类里的样本的决策属性纯不纯。

可能一个等价类包含10个样本，只有1个的决策属性和其他不同。那么删除该样本前后，正域的样本数相差9个。

举个例子，假如说有10个学生，在“英语”属性下，是等价类，“英语”属性是“好”，其中9个决策属性“学习努力程度”是“高”，剩下一个“学习努力程度”是“低”，剩下的一个就相当于“噪声”，假如不删去他，这10个学生组成从等价类是不可以被划入下近似的（根据公式，要取交集，当然变精度求β下近似，当β>=0.1的时候也可以），但是把他删去了，这9个学生就可以被划入下近似了。

考虑到这种“噪声”样本的影响，因此产生了动态约简，即随机删除一些样本，取得属性约简后再取交集。

最终产生的是所有出现次数足够多的属性集C的集合。
算法流程如下图所示：

下面有个例子：

2.9 相对依赖度方法(Relativer Dependency Method)

为了避免计算差别函数或正区域而提出的，这在没有优化的情况下会在计算上很昂贵。
对于一个属性子集R，我们用相对依赖度来替代传统的粗糙集依赖程度，定义如下:

当且仅当$\kappa R(D)=\kappa C(D)$ 且 $\forall X\subset R,\kappa X(D)\kappa C(D)$.$R$是一个约简
即为，R集合中的所有真子集的相对依赖度都不等于（自然也不可能大于）R集合的相对依赖度且R集合的相对依赖度与全集相同，则R为一个约简
算法流程如下：

具体例子：
$$R=\{a,b,c,d\}$$
先约简a:

发现相对依赖度仍为1，于是把b约简

发现仍是1，继续约简c

发现不是1了，说明c不可以约简，就约简d

发现d也不可以约简，最后得出$\{c,d\}$

2.10 条件宽松的方法(Tolerance-Based Method)

对于属性值是连续值的情况，即上面的例子中，“英语”属性不再是“好”“中”“差”而是具体的分数，位于1~100之间，则98分与99分不可再被分为同一类，这时就需要用到条件宽松的方法了
定义相似关系：

其中a为考虑的属性，a _max和a_min分别为该属性的最大值和最小值。

当考虑多个属性时，定义的相似性必须结合起来，以提供对象的总体相似性度量。对于属性的子集P，这可以通过多种方式实现;两种常用的方法是：

其中$\tau$为阈值
然后，我们定义了相似等价类：
$$SIM{(}_P,\tau )(x)=\{y\in U|(x,y)\in SI{M}_{(}P,\tau )\}$$
则之前的公式同理，如下所示：


算法流程如下：


举个例子：

	语文	数学		努力与否
李华	95	88		1
Tony	86	85		0
大明	87	68		0
gogo	66	98		0

先取“语文”属性，并计算
$$SI{M}_a(x,y)=1-|a(x)-a(y)|/|a_{max}-a_{min}|=1-|86-87|/29$$
$SIM$非常接近于$1>0.95$（阈值设为0.95）,Tony和大明应当为同一相似等价类

因此其它的依次计算，在“语文”属性下，可划分相似等价类为
$$SI{M}_{(}P,\tau )(x)=\{Tony，大明|\}$$
其余依原方法计算，多属性问题也同理。

（由于本人水平有限，疏忽错误在所难免，还请各位指正）