常用函数的傅里叶变换_傅里叶变换简介
傅里叶变换是一种线性积分变换，用于信号在时域和频域之间的表示，在数学、物理、数字信号处理等领域有重要应用。
我们常看到傅里叶级数、傅里叶变换、离散时间傅里叶变换、离散傅里叶变换等概念，本文对这些概念进行简单的梳理和介绍。
1. 傅里叶级数
考虑一个在区间 上可积的函数 ，其傅里叶级数 (Fourier Series - FS) 为
其中
说明 为了简化括号，我们把, 简写为，，下文以此类推。
由欧拉公式 得
代入可得
令
则可以得到傅里叶级数的复数形式
根据，可写成如下形式：
2. 傅里叶变换
傅里叶变换 (Fourier Transform - FT) 可以看作傅里叶级数的连续形式。
首先考虑定义在 上的函数的傅里叶级数展开：
其中
根据上式，我们也可以把理解为关于的一个函数, 即
其中是一个常数，令
我们有
注意到
下面把用表示，我们有
当 时，，， 中的求和变为积分
相应地， 变为
称为傅里叶变换，记作 ； 称为傅里叶变换的逆变换，记作 。在信号分析中， 称为信号的时域表示， 称为信号的频域表示。
需要明确的是，不管是用时域还是用频域来表示一个信号，它们代表的都是同一个信号。可以从线性空间的角度理解这一点。同一个信号在不同的表象(或者说基向量)下具有不同的坐标。
同一个向量在不同表象下的坐标可以通过一个线性变换联系起来。如果是有限维的空间，这个线性变换可以表示为一个矩阵。而傅里叶变换则是无限维空间不同表象之间的一种变换。举例来说，在量子力学中，一个波函数的坐标表象到动量表象间的变换就是一个傅里叶变换。
也可以将角频率 替换为自然频率 ，有 ，则
3. 离散时间傅里叶变换
一般情况下，我们处理的信号都是离散的。取 在时间上的离散采样
是采样的时间间隔。
傅里叶变换只能作用在连续函数上，为此我们引入
其中
为 Dirac 函数。 注意：Dirac函数是广义函数。换句话说，找不到满足上述条件的经典函数。我们可以把它理解为分布，具有如下性质：
式中的第二部分 称为 Dirac 梳子(亦称 Shah 分布)，是一个采样函数，常用在数字信号处理和离散时间信号分析中。
对 做傅里叶变换即可得到离散时间傅里叶变换 (Discrete-time Fourier Transform - DTFT)的形式。
下面简单介绍一下采样定理。
若原信号 不包含高于 的频率，即 ，则只要采样频率 ，时域采样就能完全重建原信号。
将 在 上展开为傅里叶级数
其中
注意到 时 ，而 ，故 时 。因此， 可改写为
代入 ，得
这里 。说明原信号的傅里叶变换可以由采样信号确定，进而可以利用傅里叶逆变换重建原信号。
此外，不难发现
是一个周期为 的周期函数。离散傅里叶变换可以看作原信号连续傅里叶变换的周期延拓，时域的离散化造成了频域的周期化。
4. 离散傅里叶变换
离散时间傅里叶变换在频域上仍然是连续的。如果把频域也离散化，就得到了离散傅里叶变换 (Discrete Fourier Transform - DFT)。
也可以写成矩阵形式
其中 。
离散傅里叶变换的逆变换为
5. 快速傅里叶变换
直接根据定义计算离散傅里叶变换的复杂度是 。快速傅里叶变换 (Fast Fourier Transform - FFT) 是计算离散傅里叶变换及其逆变换的算法。FFT 基于分治法 (Divide and Conquer) 把计算复杂度降低到 。
在 Python 中可以利用 scipy.fftpack 进行快速傅里叶变换。
import numpy as np
import pandas as pd
import matplotlib.pyplot as plt
from scipy.fftpack import fft, ifft
x = np.linspace(0, 2*np.pi, 200) # 采样频率为 200Hz
y = np.cos(5*x) + 0.5*np.sin(25*x) + 0.3*np.cos(75*x) # 根据采样定理，信号中不能包含超过 100Hz 的频率成分
plt.figure(figsize=(10,12))
ax1 = plt.subplot(311)
ax1.plot(x, y, 'r')
ax1.set_title('original signal in time domain')
Y = fft(y) # 快速傅里叶变换，得到频域
ax2 = plt.subplot(323)
ax2.plot(range(200), abs(Y))
ax2.set_title('original signal in frequency domain')
Y[10:-9] = 0 # 滤波
ax3 = plt.subplot(324)
ax3.plot(range(200), abs(Y))
ax3.set_title('filtered signal in frequency domain')
filtered = ifft(Y).real # 逆变换，得到滤波后的时域信号
ax4 = plt.subplot(313)
ax4.plot(x, filtered, 'g')
ax4.set_title('filtered signal in time domain')
参考
- A.Boggess, F.J. Narcowich. 小波与傅里叶分析基础(第二版)， 芮国胜，康健(译)，电子工业出版社，2017.6
- Fourier transform, Wikipeida. https://en.wikipedia.org/wiki/Fourier_transform
- Discrete-time Fourier transform, Wikipedia. https://en.wikipedia.org/wiki/Discrete-time_Fourier_transform
- Discrete Fourier transform, Wikipedia. https://en.wikipedia.org/wiki/Discrete_Fourier_transform
- https://docs.scipy.org/doc/scipy/reference/fftpack.html
作者介绍
肖伟集，硕士，毕业于北京大学。2018年加入网易严选算法团队负责销量预测、补货决策、智能营销、异常检测等项目的技术研发。