时间复杂度分析实例(一)

题目描述

最大子列和问题：
给定N个整数的序列{$A_1$，$A_2$，···，$A_N$}，求函数$f(i,j)=max(0，$${\sum }_{k=i}^j{A}_k$$)$的最大值；

解决方法

解法一

// 解法一：
int MaxSum1(int A[],int N)
{
    int ThisSum,MaxSum = 0;
    int i,j,k;
    for(i = 0;i < N; i++)           //i为子列左端位置
    {
        for(j = i;j < N; j++)       //j为子列右端位置
        {
            ThisSum = 0;            //ThisSum为从A[i]到A[j]的子列和
            for(k = i;k <= j; k++)
                ThisSum += A[k];
            if(ThisSum > MaxSum)    //若新的子列和更大，则更新结果
                MaxSum = ThisSum;
        }
    }
    return MaxSum;
}

函数中有三重循环，通过分析证明可知，时间复杂度为 $O（N^3）$;

解法二

// 解法二
int MaxSum2(int A[],int N)
{
    int ThisSum,MaxSum = 0;
    int i,j,k;
    for(i = 0;i < N; i++)           //i为子列左端位置
    {
        ThisSum = 0;                //ThisSum为从A[i]到A[j]的子列和
        for(j = i;j < N; j++)       //j为子列右端位置
        {
            ThisSum += A[j];        //对于相同的i,不同的j,只要在j-1次循环基础上累加一项即可
            if(ThisSum > MaxSum)    //若新的子列和更大，则更新结果
                MaxSum = ThisSum;
        }
    }
    return MaxSum;
}

显然，解法二的时间复杂度要比解法一小得多，对于相同的i，不同的j，只需在j-1次循环的基础上累加一项即可，因此只有两重循环，分析可得，时间复杂度为$O（N^2）$；

解法三

// 解法三
int MaxSum3(int A[],int N)
{
    int ThisSum,MaxSum;
    int i;
    ThisSum = MaxSum = 0;
    for(i = 0;i < N; i++)
    {
        ThisSum += A[i];         //向右累加
        if(ThisSum > MaxSum)
            MaxSum = ThisSum;    //发现更大的子列和则更新当前结果
        else if(ThisSum < 0)     //如果当前子列和为负
            ThisSum = 0;         //则不可能使后面的部分和增大，抛弃之
    }
    return MaxSum;
}

解法三的时间复杂度明显要远远小于解法一和解法二，分析可知，解法三的时间复杂度为$O（N）$；
分析（在线处理算法）：
解法三从0开始向右累加，如果子列和大于已知最大子列和，则更新最大值，继续累加，每累加一次进行判断，如果当前子列和为负数，则舍弃当前子列，ThisSum置零，从下一个元素开始继续累加，因为当子列和为负数时，继续累加只会使后面的和变得更小；

解法四

除了以上三种解法外，还有一种“分而治之”的解法，将数组分为左右两部分，分别求最大值，再求通过分割线的子列最大值，三者比较取最大值，其时间复杂度介于解法二和解法三之间，为$O（N\log N）$;

【注】以上题目及解法摘自浙大数据结构慕课