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大 O 复杂度表示法的作用是:在不运行代码的情况下,用“肉眼”得到一段代码的执行时间。
int cal(int n) {
int sum = 0;
int i = 1;
for (; i <= n; ++i) {
sum = sum + i;
}
return sum;
}
假设每一行的执行时间为Δt,那么第2、3行是 1Δt 。第4行和第5行分别执行了n次,所以第4行的执行时间是 nΔt,第五行也是 nΔt 。所以这段代码总执行时间T(n):
T(n) = (2n + 2)Δt
可见,所有代码的执行时间 T(n) 与每行代码的执行次数成正比。
再来看嵌套循环的例子:
int cal(int n) {
int sum = 0;
int i = 1;
int j = 1;
for (; i <= n; ++i) {
j = 1;
for (; j <= n; ++j) {
sum = sum + i * j;
}
}
}
外面的for循环执行了n次,最里面的for循环执行了 n² ,按照上面的分析方法:
1、2、3行分别执行了 1次,执行时间加起来就是3Δt;
5、6行都执行了n次,执行时间分别是 nΔt,加起来就是 2nΔt;
第7、8分别执行 n²次,加起来的时间就是 2n²Δt。行可知整段代码的总执行时间T(n):
T(n) = (3 + 2n + 2n²) Δt
通过以上两个示例,我们发现规律: 所有代码的执行时间 T(n) 与每行代码的执行次数 f(n) 成正比。
由此引出大O复杂度表示法:
T(n) = O( f(n) )
大 O时间复杂度实际上并不具体表示代码真正的执行时间,而是表示代码执行时间随数据规模增长的变化趋势,所以,也叫作渐进时间复杂度(asymptotic time complexity),简称时间复杂度。
知道了大O复杂度表示法的由来和表示方法,下面讲三个使用方法分析一段代码的时间复杂度。
- 只关注循环执行次数最多的一段代码
- 加法法则:总复杂度等于量级最大的那段代码的复杂度
- 乘法法则:嵌套代码的复杂度等于嵌套内外代码复杂度的乘积
1. 只关注循环执行次数最多的一段代码
第一段代码示例中执行次数最多的是第4和5行,执行了n次,因此总的时间复杂度就是O(n)。
2. 加法法则:总复杂度等于量级最大的那段代码的复杂度
int cal(int n) {
int sum_1 = 0;
int p = 1;
for (; p < 100; ++p) {
sum_1 = sum_1 + p;
}
int sum_2 = 0;
int q = 1;
for (; q < n; ++q) {
sum_2 = sum_2 + q;
}
int sum_3 = 0;
int i = 1;
int j = 1;
for (; i <= n; ++i) {
j = 1;
for (; j <= n; ++j) {
sum_3 = sum_3 + i * j;
}
}
return sum_1 + sum_2 + sum_3;
}
第一段执行了100次,但就算执行了10000次,只要和n没关系就忽略;第二段和第三段的时间复杂度分别是O(n) 和 O(n2)。综合这三段代码的时间复杂度,我们取其中最大的量级。所以,整段代码的时间复杂度就为 O(n2)。也就是说:总的时间复杂度就等于量级最大的那段代码的时间复杂度。
3. 乘法法则:嵌套代码的复杂度等于嵌套内外代码复杂度的乘积
上面嵌套循环的例子中,外层for循环的时间复杂度是O(n),内层的时间复杂度其实是外层的O(n)乘以内层的O(n),所以整个cal()函数的时间复杂度就是O(n²)。
指数阶和阶乘阶是非多项式。当数据规模 n 越来越大时,非多项式量级算法的执行时间会急剧增加,求解问题的执行时间会无限增长。所以,非多项式时间复杂度的算法其实是非常低效的算法。不讲。
首先你必须明确一个概念,O(1) 只是常量级时间复杂度的一种表示方法,并不是指只执行了一行代码。比如这段代码,即便有 3 行,它的时间复杂度也是 O(1),而不是 O(3)。
int i = 8;
int j = 6;
int sum = i + j;
只要代码的执行时间不随 n 的增大而增长,这样代码的时间复杂度我们都记作 O(1)。或者说,一般情况下,只要算法中不存在循环语句、递归语句,即使有成千上万行的代码,其时间复杂度也是Ο(1)。
对数阶时间复杂度非常常见,同时也是最难分析的一种时间复杂度。我通过一个例子来说明一下。
i=1;
while (i <= n) {
i = i * 2;
}
第三行代码是循环执行次数最多的。其实是等比数列。
通过 2x=n 求解 x 这个问题我们想高中应该就学过了,我就不多说了。x=log2n,所以,这段代码的时间复杂度就是 O(log2n)。
其余的时间复杂度表达式就不写笔记了,极客时间的《数据结构和算法》强烈推荐。
空间分析比较简单,我们常见的空间复杂度就是 O(1)、O(n)、O(n2 )。分析方法和时间复杂度一样,不再赘述。
复杂度也叫渐进复杂度,包括时间复杂度和空间复杂度,用来分析算法执行效率与数据规模之间的增长关系,可以粗略地表示,越高阶复杂度的算法,执行效率越低。常见的复杂度并不多,从低阶到高阶有:O(1)、O(logn)、O(n)、O(nlogn)、O(n2 )。
复杂度分析并不难,关键在于多练。
下一节说一下真实代码中的复杂度分析。