Game101现代计算机图形学入门学习笔记（六）

着色是一个将材质应用到物体的过程。

一、表示几何的方法

1、隐式方法

• 点满足一些关系，不提供具体的坐标.
• 比较容易判断点是否在表面内。
• 在采样方面比较困难。
• 适合光线与表面求交。

1、代数曲面

代数表达式表示的曲面，太复杂将很难用代数表达式来表示。

2、Constructive Solid Geometry(CSG)

对基础几何体（如圆柱、圆、立方体）进行布尔操作，如并、交、差，产生新的几何模型。

3、距离函数

• 空间中任意一点到表面的最小距离。（有正负符号，物体内部为负，外部为正。）
• 先计算出距离，然后通过blend操作进行。
• 例子：
  
  A和B做blend求出一个左半部为黑，右半部为白的物体。
  以A的阴影界限为0位置（即$\frac{1}{3}$处），左右都为到0位置的距离，左在阴影内为负，右为正。B同理。然后进行blend操作得到结果。

4、水平集

• 函数值为0的地方作为曲线。
• 可以更加显示的区空间曲线的形状。
• 该方法广泛的运用在医学成像和物理模拟之中

5、分形几何

分形几何是指许多自相似的形体组成的几何形状。

2、显式方法

• 直接给出坐标，或者通过参数映射。
• 判断点是否在表面内比较难。
• 采样操作简单。
• 三角形网格、Bezier曲面、细分曲面、NURBS、点云等

1、点云

• 用一系列的点去表示几何体。
• 点多细节多。

2、多边形网格

• 保存点和多边形（一般是三角形或四边形）。
• 更容易处理、模拟、自适应采样。

二、曲线

1、Bezier曲线

• 用一系列控制点来生成一条曲线。
• 本质是对线段的插值。
  

1、De Casteljau算法

• 三个控制点的贝塞尔曲线递归求解（二次贝塞尔曲线）。
  
  $b_0^1=(1-t)b_0+t{b}_1$
  $b_1^1=(1-t)b_1+t{b}_2$
  $b_0^2=(1-t)b_0^1+t{b}_1^1$
  t从0到1进行插值得到曲线。
  递归重复上述过程。
  其核心就是多次的线性插值，并在生成的新的顶点所连接构成的线段之上递归的执行这个过程，直到得到最后一个顶点。
• 伯恩斯坦形式的贝塞尔曲线
  $b^n(t)=b_0^n(t)={\sum }_{j=0}^n{b}_j{B}_j^n(t)$
  $b^n(t)$：n次贝塞尔曲线
  $b_j$：贝塞尔控制点
  $B_j^n(t)$：伯恩斯坦形式多项式:$B_j^n(t)=\left(\begin{array}{c}n\\ i\end{array}\right)t^j(1-t{)}^{n-j}$
  例子：
  对于四个点$b_0,b_1,b_2,b_3$
  $b^n(t)=b_0(1-t{)}^3+b_{1}3t(1-t{)}^2+b_{2}3t^2(1-t)+b_3{t}^3$

2、分段贝塞尔曲线

贝塞尔曲线在控制点较多时，调整一部分控制点也会影响到整条曲线。分段可以使调整控制点只影响局部。

3、性质

1、起点是曲线起始点，终点是终止点。
2、具有一阶导数。
3、仿射变换：通过对控制点的曲线的仿射变换实现曲线的仿射变换。
4、凸包性质：所有贝塞尔曲线会被所有控制点形成的多边形所包围

2、B样条

• 可以对曲线进行局部修改。
• 保持相邻曲线的连续性。
• 满足贝塞尔曲线特性。

三、曲面

1、Bezier曲面

Bezier曲面类似Bezier曲线，用两个[0,1]范围的参数u，v插值表示。

四、网格处理

1、网格细分

将模型上的一个面分成多个面，提高分辨率，从而提升效果。

1、Loop细分

• 只针对三角形面的细分。
  1、生成更多三角形
  在取一个三角形的三条边中点连接，将三角形划分成四个三角形。
  2、根据权值调整新生成的点的位置。

2、Catmull-Clark细分

针对一般网格。

• 所有非四边形，被称为Non-quad face
• 度不等于4的点为奇异点
• 每次细分，在每个面中都添加一个点，在每条边的中点也添加一个点，面上的新顶点连接所有边上的新顶点。
• Catmull-Clark细分的特点
  1、有几个非四边形面，就会多出几个奇异点。
  2、新多出来的奇异点的度数与原来所在面的边数相等。
  3 第一次细分之后所有面都会变成四边形，且往后奇异点数目不再增加

2、网格简化

将模型上的多个面合成一个面，降低分辨率，从而保留其形状或某些特性。

• 所利用的一个方法叫做边坍缩。
• 引入一个度量，即二次误差度量(Quadric Error Metrics)。
• 坍缩之后新顶点所在的位置与原来各个平面的垂直距离的平方之和。如果能够使得这个误差最小，那么对整个模型样貌修改一定程度上也会较小。
• 做法：
  1、 为每条边赋值，其值为最小二次误差度量。
  2、选取值最小的边做坍缩，新顶点位置为原来计算得出使得二次误差最小的位置。
  3、坍缩完之后，与之相连其他的边的位置会改动，更新这些边的权值。
  4、重复上述步骤，直到到达终止条件。

3、网格规格化

使三角形面尽量相同，从而达到提升模型效果。

五、参考和引用

[1] bilibili：GAMES101-现代计算机图形学入门-闫令琪
[2] 几何（基本表示方法）.pdf
[3] 计算机图形学九：几何1—隐式曲面(代数形式,CSG, 距离函数,分型几何)与显式曲面
[4]CSDN：GAMES101-现代计算机图形学学习笔记（11）
[5]计算机图形学十：几何2—贝塞尔曲线(Bézier Curves)与贝塞尔曲面(Bézier Surfaces)
[6] 几何（曲线与曲面）.pdf
[7] 几何（网格处理）、阴影图.pdf
[8]计算机图形学十一：几何3—曲面细分(Mesh subdivision)与曲面简化(Mesh Smplication)