GAMES101-现代计算机图形学学习笔记（12）

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几何

这一节的几何部分主要集中在网格的相关处理上，这里主要分为三个部分展开，分别是网格细分、网格简化、网格正则化

网格细分

在计算机图形学中，网格细分指的是给定已知粗糙表面（由网格构成），通过某种方法生成光滑的表面。为什么需要细分？因为对于简单模型来说，当纹理的频率高于模型的面数时，如果直接使用高分辨率的纹理会导致失真（纹理出现拉扯的情况），这时就需要更加精细的模型，由此引入了网格细分。
网格细分本质上往模型引入更多的三角形，它是递归的，它通过一定的细分方案重新对原有网格进行划分，生成更多的面和边来让表面变得光滑。同时，它还会根据附近旧顶点的位置计算网格中新顶点的位置，在某些细分方案中，旧顶点的位置也可能会改变。

课程介绍的细分方案主要分为两类：Loop Subdivision 和 Catmull-Clark Subdivision

Loop Subdivision

这是一种针对三角形网格进行细分的方案，主要步骤分为两步：①添加顶点 ②更新顶点

1. 添加顶点
   对于每个三角形网格，分别在每条边的中点上添加顶点，此时会把该网格分成四个三角形。将添加的顶点看坐新的顶点，原来的顶点看作旧的顶点，这两种顶点分别用不同的更新方案对位置进行更新。
   

2. 更新顶点
   ①新的顶点：
   
   如图所示，考虑一般情况，假设新的顶点为白点，那么它一定被两个三角形所共享，分别找到这两个三角形。设和白点同边的顶点为 A ，B；不同边的顶点为 C，D；那么新的点（白点）的更新方案为：
   $$3/8^{\ast }(A+B)+1/8^{\ast }(C+D)$$

②旧的顶点：

如图所示，以白点为例。不考虑新增加的顶点，首先找到它所有相邻的三角形中旧的顶点，设为 u ， n表示白点的度数（在图论中，一个顶点在图中的度 (degree)为与这个顶点相连接的边的数目），白点的更新规则如下：
$$(1-n^{\star }{u}^{\star })\ast originalPosition+{\mathrm{u}}^{\ast }neighborPositionSum$$

$originalPosition$ 表示这个点原来的位置，$neighborPositionSum$表示相邻点位置的和。这个公式的意义为：旧的点的更新需要考虑邻接点和自身的权重，当邻接点较多时，那么自身的权重就可以减少一些。

Catmull-Clark Subdivision

Loop Subdivision 适用于三角形网格细分，而 Catmull-Clark Subdivision 更加一般化，适用于非三角形网格。

在引入 Catmull-Clark Subdivision 之前先定义两个概念：① 非四边形面； ② 奇异点

如图所示： 非四边形面指的就是没有四个顶点的面（图中橙色三角形），奇异点指的是度不为4的点（图中紫色圆点）

细分规则：
在每个面中添加一个顶点（面的重心），在每条边中添加一个中点。对于每个面来说，将面中添加的顶点与边中添加的中点依次连接；得到的结果如图所示：

由此可以得出 Catmull-Clark Subdivision 的性质：
在进行第一次 Catmull-Clark Subdivision 后，细分前的非四边形面消失了，且新增了奇异点数，增加的顶点个数为细分前非四边形的面数。在后续的 Catmull-Clark Subdivision 中，不会再增加奇异点。

顶点更新规则：
Catmull-Clark Subdivision 将顶点分为三类进行更新，分别是 Face point、Edge Point 和 Vertex Point，如图所示：

网格简化

网格简化指的是通过某种方法，将复杂的网格变得简单，即减少一部分顶点和面，同时还需要保留原有网格的形状与外观。在游戏中，复杂的网格模型往往包含更多的顶点和面，但是如果这个模型距离相机较远，我们就只需要简单的包含物体轮廓的模型来显示。

课程介绍了一种网格简化方法：边坍缩

边坍缩与二次度量误差（QEM）

边坍缩指的就是将网格中的两个点捏成一个点，有将某个点合并到另一个点，也有将两个点合并到他们的中点，如图所示：

那么如何选定需要进行坍缩的那条边呢？这里就引入了二次度量误差来进行寻找。

它的本质是使得坍缩后得到的顶点到原本邻接面的二次误差最小，而这里的二次误差采用的就是坍缩后的顶点到原本邻接面的距离的平方和，所以我们只需要找到使得二次误差最小的那条边，对其进行坍缩即可。

需要注意的是每次坍缩会影响邻接边的代价，所以需要对邻接边的二次误差进行重排。

网格正则化

网格正则化通过修改顶点的位置，让模型中的三角形更加趋于正三角形（更平滑）。

Shadow mapping

Shadow mapping 是图形学中计算阴影的过程。它是一种图像空间的算法，即在计算阴影的过程中不需要知道场景中的几何关系。

理解 Shadow mapping 中最核心的一点是：如果物体不在阴影中，那么它肯定能被相机看见且被灯光照射到。

阴影按类型可分为硬阴影和软阴影，硬阴影是由点光源产生的，软阴影是由范围光源产生的。

硬阴影

步骤：

1. 第一步从光源处出发，假设光源处有一个相机，计算光源处看向场景的深度，渲染成深度图保存；
   

2. 第二步从实际相机出发，计算相机看向场景的深度后，投影回光源处的相机空间（常称为光源空间），并与第一步得到的深度进行比较。如果第二步得到的深度大于第一步得到的深度，那么说明该点在阴影内，反之不在。
   这里存在几个问题

①为什么需要投影回光源空间？
因为两个相机看到的深度需要处于同一空间下进行比较

②如何将第二步看到的顶点变换到光源空间？
将第二步中得到的处于世界坐标系下的顶点乘以光源空间下的 PV矩阵即可（投影和视角）

③在计算阴影时的比较问题
如图所示，非绿色部分表示阴影，图中阴影部分明显出现了较多的噪声。这是因为深度缓冲区的深度采用的是浮点表示，而浮点比较会存在精度问题，无法直接判断相等。

同时，由于深度图的分辨率的影响，会使得多个片段从同一个深度值采样，这还会造成失真。常见做法是在判断一个片段是否为阴影时添加一个 bias

软阴影

软阴影是由范围光源产生的。相比硬阴影，软阴影的边界更加模糊。