差分表

定义

对于一个序列
a0,a1,...,an,...

定义一个新的序列
Δa0,Δa1,...,Δan,...

其中
Δai=ai+1−ai

那么我们新定义的这个序列 {Δan} 称序列 {an} 的（一阶）差分序列

类似的，我们可以构造序列 {Δan} 的二阶、三阶… k 阶差分序列。
不妨记为{Δ2an},...,{Δkan}

而原序列的差分表，则是由每个 p=0,1,...,k 排成 k 行形成的表。p阶差分序列在行 p 上，原序列在第0行。

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性质

• 令序列的通项是关于 n 的一个p次多项式，即
  fn=∑pi=0ainp
  则 ∀n>=0,Δp+1an=0
  证明使用归纳法即可。
• 差分的线性性
  倘若 fn=k1gn+k2hn ，则有 ∀p,n,Δpfn=k1Δpgn+k2Δphn
  从定义去证明即可。
• 一个差分表中的所有元素可以由它的第一条对角线确定下来。
  这个有点类似于泰勒展开的离散形式。
• 若某个序列 fn 的差分表的第一条对角线为
  c0,c1,...,cp,0,...
  则序列的通项满足 fn=∑pi=0ci(ni)
  证明：不妨考虑一个最简单的形式。
  设某个差分表的第一条对角线为 0,...,0,1,0,... ，它的特点是第 一条对角线上只有第 p 个数为1，其他都为 0
  那么这个差分表对应的原数列f则为 0,...,0,1,0,... ，其中除 fp=1 以外其他项都为 0 。
  由此我们可以写出这个序列的一个通项公式
  fn=c(n)(n−1)(n−2)...(n−p+1)
  其中 c 是某个常数。代入fp=1，得到 c=1p!
  于是乎我们得到 fn 的通项公式
  fn=∏nj=n−p+1jp!=n!p!(n−p)!=(np)
  那么根据差分的线性性，对于任意一个差分表我们都可以分拆成若干个只有一个 1 的差分表的线性组合。把这所有的通项式结合起来我们就可以得到
  fn=∑pi=0ci(ni)

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在求和上的应用

看了上面一堆的式子以后，似乎差分表的作用还没有体现出来。
但是结合以下的这个结论，差分表就在求和问题上显得尤为有效了。

引理： ∑pi=0(ni)=(n+1p+1)
证明只需要不断按照 (nm)=(nm−1)+(n−1m−1) 展开右式即可得到左式。

那么假如我们现在要求
∑ni=0fi

首先用 O(p2) 的时间计算出差分表，取出第一条对角线上的元素 ci ，则有
∑ni=0fi=∑ni=0∑pj=0cj(ij)=∑pj=0cj∑ni=0(ij)=∑pj=0cj(n+1p+1)

成功地将 O(n) 的求和时间复杂度降到了 O(p2)