误差逆传播算法公式理解及推导
前言：公式理解及推导参考自《机器学习》周志华 P101
BP网络
BP网络一般是指由 误差逆传播（error BackPropagation, BP）算法训练的多层前馈神经网络。
给定训练集 D = { ( x 1 , y 1 ) D=\left\{\left(\boldsymbol{x}_1, \boldsymbol{y}_1\right)\right. D={(x1,y1), ( x 2 , y 2 ) , … , ( x m , y m ) } , x i ∈ R d , y i ∈ R l \left.\left(\boldsymbol{x}_2, \boldsymbol{y}_2\right), \ldots,\left(\boldsymbol{x}_m, \boldsymbol{y}_m\right)\right\}, \boldsymbol{x}_i \in \mathbb{R}^d, \boldsymbol{y}_i \in \mathbb{R}^l (x2,y2),…,(xm,ym)},xi∈Rd,yi∈Rl，即输入示例由 d d d 个属性描述，输出 l l l 维实值向量。如下图所示，给出一个拥有 d d d 个输入神经元、 l l l 个输出神经元、 q q q 个隐层神经元的多层前馈网络结构。
对训练例 ( x k , y k ) , k ∈ ( 1 , m ) \left(\boldsymbol{x}_k, \boldsymbol{y}_k\right), k∈(1, m) (xk,yk),k∈(1,m)，假定神经网终的输出为 y ^ k = ( y ^ 1 k , y ^ 2 k , … , y ^ l k ) \hat{\boldsymbol{y}}_k=\left(\hat{y}_1^k, \hat{y}_2^k, \ldots, \hat{y}_l^k\right) y^k=(y^1k,y^2k,…,y^lk)，即 y ^ j k = f ( β j − θ j ) \hat{y}_j^k=f\left(\beta_j-\theta_j\right) y^jk=f(βj−θj)。关于 y ^ j k \hat{y}_j^k y^jk 的表达式来源于 MP 神经元模型，简单来说，当总输入超过阈值则输出一个信号，当总输入低于阈值会输出另一个信号。
网络在 ( x k , y k ) , k ∈ ( 1 , m ) \left(\boldsymbol{x}_k, \boldsymbol{y}_k\right), k∈(1, m) (xk,yk),k∈(1,m) 上的均方误差为 E k = 1 2 ∑ j = 1 l ( y ^ j k − y j k ) 2 E_k=\frac{1}{2} \sum_{j=1}^l\left(\hat{y}_j^k-y_j^k\right)^2 Ek=21∑j=1l(y^jk−yjk)2，此处 1/2 是为了后面求导方便。
参数更新式
网络中有 ( d + l + 1 ) q + l (d+l+1) q+l (d+l+1)q+l 个参数需确定：输入层到隐层的 d × q d \times q d×q 个连接权、隐层到输出层的 q × l q \times l q×l 个连接权、 q q q 个隐层神经元的阈值、 l l l 个输出层神 经元的阈值。以隐层到输出层的连接权 w h j w_{hj} whj 为例分析参数更新， w h j w_{hj} whj 参数更新估计式为：
w h j ′ = w h j + Δ v = w h j − η ∂ E k ∂ w h j w_{hj}'=w_{hj}+ \Delta v = w_{hj}-\eta \frac{\partial E_k}{\partial w_{hj}} whj′=whj+Δv=whj−η∂whj∂Ek
其中， η ∈ ( 0 , 1 ) \eta \in (0, 1) η∈(0,1)，成为学习率（learning rate）。
因为每次更新只考虑一个参数，所以 E k E_k Ek 可视为关于 w h j w_{hj} whj 的一元函数。若 ∂ E k ∂ w h j \frac{\partial E_k}{\partial w_{hj}} ∂whj∂Ek 为正值，说明 w h j w_{hj} whj 越大， E k E_k Ek 越大，为使 E k E_k Ek 尽可能小，所以应减去这个正的导数；若 ∂ E k ∂ w h j \frac{\partial E_k}{\partial w_{hj}} ∂whj∂Ek 为负值，说明 w h j w_{hj} whj 越大， E k E_k Ek 越小，为使 E k E_k Ek 尽可能小，所以应减去这个负的导数，增大 w h j w_{hj} whj。
计算导数–链式法则
注意到 w h j w_{h j} whj 先影响到第 j j j 个输出层神经元的输入值 β j \beta_j βj，再影响到其输出值 y ^ j k \hat{y}_j^k y^jk，然后影响到 E k E_k Ek，有：
∂ E k ∂ w h j = ∂ E k ∂ y ^ j k ⋅ ∂ y ^ j k ∂ β j ⋅ ∂ β j ∂ w h j . \frac{\partial E_k}{\partial w_{h j}}=\frac{\partial E_k}{\partial \hat{y}_j^k} \cdot \frac{\partial \hat{y}_j^k}{\partial \beta_j} \cdot \frac{\partial \beta_j}{\partial w_{h j}} . ∂whj∂Ek=∂y^jk∂Ek⋅∂βj∂y^jk⋅∂whj∂βj.
根据定义 β j = ∑ h = 1 q w h j b h \beta_j = \sum_{h=1}^q w_{h j} b_h βj=∑h=1qwhjbh ，有
∂ β j ∂ w h j = b h \frac{\partial \beta_j}{\partial w_{h j}}=b_h ∂whj∂βj=bh
计算 ∂ E k ∂ y ^ j k ⋅ ∂ y ^ j k ∂ β j \frac{\partial \mathrm{E}_{\mathrm{k}}}{\partial \hat{\mathrm{y}}_{\mathrm{j}}^{\mathrm{k}}} \cdot \frac{\partial \hat{\mathrm{y}}_{\mathrm{j}}^{\mathrm{k}}}{\partial \beta_{\mathrm{j}}} ∂y^jk∂Ek⋅∂βj∂y^jk：
= ∂ E k ∂ y ^ j k ⋅ ∂ [ f ( β j − θ j ) ] ∂ β j = ∂ E k ∂ y ^ j k ⋅ f ′ ( β j − θ j ) = ∂ E k ∂ y ^ j k ⋅ f ( β j − θ j ) × [ 1 − f ( β j − θ j ) ] = ∂ E k ∂ y ^ k k ⋅ y ^ j k ( 1 − y ^ j k ) = ∂ [ 1 2 ∑ j = 1 1 ( y ^ j k − y j k ) 2 ] ∂ y ^ j k ⋅ y ^ j k ( 1 − y ^ j k ) = 1 2 × 2 ( y ^ j k − y ^ j k ) × 1 × y ^ j k ( 1 − y ^ j k ) = ( y ^ j k − y ^ j k ) y ^ j k ( 1 − y ^ j k ) =\frac{\partial \mathrm{E}_{\mathrm{k}}}{\partial \hat{\mathbf{y}}_{\mathrm{j}}^{\mathrm{k}}} \cdot \frac{\partial\left[\mathrm{f}\left(\beta_{\mathrm{j}}-\theta_{\mathrm{j}}\right)\right]}{\partial \beta_{\mathrm{j}}}=\frac{\partial \mathrm{E}_{\mathrm{k}}}{\partial \hat{\mathrm{y}}_{\mathrm{j}}^{\mathrm{k}}} \cdot \mathrm{f}^{\prime}\left(\beta_{\mathrm{j}}-\theta_{\mathrm{j}}\right)=\frac{\partial \mathrm{E}_{\mathrm{k}}}{\partial \hat{\mathrm{y}}_{\mathrm{j}}^{\mathrm{k}}} \cdot \mathrm{f}\left(\beta_{\mathrm{j}}-\theta_{\mathrm{j}}\right) \times\left[1-\mathrm{f}\left(\beta_{\mathrm{j}}-\theta_{\mathrm{j}}\right)\right] = \frac{\partial \mathrm{E}_{\mathrm{k}}}{\partial \hat{\mathrm{y}}_{\mathrm{k}}^{\mathrm{k}}} \cdot \hat{\mathrm{y}}_{\mathrm{j}}^{\mathrm{k}}\left(1-\hat{\mathrm{y}}_{\mathrm{j}}^{\mathrm{k}}\right) \\ =\frac{\partial\left[\frac{1}{2} \sum_{\mathrm{j}=1}^1\left(\hat{\mathrm{y}}_{\mathrm{j}}^{\mathrm{k}}-\mathrm{y}_{\mathrm{j}}^{\mathrm{k}}\right)^2\right]}{\partial \hat{\mathrm{y}}_{\mathrm{j}}^{\mathrm{k}}} \cdot \hat{\mathrm{y}}_{\mathrm{j}}^{\mathrm{k}}\left(1-\hat{\mathrm{y}}_{\mathrm{j}}^{\mathrm{k}}\right)=\frac{1}{2} \times 2\left(\hat{y}_{\mathrm{j}}^{\mathrm{k}}-\hat{\mathrm{y}}_{\mathrm{j}}^{\mathrm{k}}\right) \times 1 \times \hat{\mathrm{y}}_{\mathrm{j}}^{\mathrm{k}}\left(1-\hat{\mathrm{y}}_{\mathrm{j}}^{\mathrm{k}}\right)=\left(\hat{\mathrm{y}}_{\mathrm{j}}^{\mathrm{k}}-\hat{\mathrm{y}}_{\mathrm{j}}^{\mathrm{k}}\right) \hat{\mathrm{y}}_{\mathrm{j}}^{\mathrm{k}}\left(1-\hat{\mathrm{y}}_{\mathrm{j}}^{\mathrm{k}}\right) =∂y^jk∂Ek⋅∂βj∂[f(βj−θj)]=∂y^jk∂Ek⋅f′(βj−θj)=∂y^jk∂Ek⋅f(βj−θj)×[1−f(βj−θj)]=∂y^kk∂Ek⋅y^jk(1−y^jk)=∂y^jk∂[21∑j=11(y^jk−yjk)2]⋅y^jk(1−y^jk)=21×2(y^jk−y^jk)×1×y^jk(1−y^jk)=(y^jk−y^jk)y^jk(1−y^jk)
上式计算 f ′ ( β j − θ j ) \mathrm{f}^{\prime}\left(\beta_{\mathrm{j}}-\theta_{\mathrm{j}}\right) f′(βj−θj) 时，涉及 Sigmoid 函数 f ( x ) f(x) f(x) 的导数： f ′ ( x ) = f ( x ) ( 1 − f ( x ) ) f^{\prime}(x)=f(x)(1-f(x)) f′(x)=f(x)(1−f(x))
再令
g j = − ∂ E k ∂ β j = − ∂ E k ∂ y ^ j k ⋅ ∂ y ^ j k ∂ β j g_j=-\frac{\partial \mathrm{E}_{\mathrm{k}}}{\partial \beta_{\mathrm{j}}}=-\frac{\partial \mathrm{E}_{\mathrm{k}}}{\partial \hat{\mathrm{y}}_{\mathrm{j}}^{\mathrm{k}}} \cdot \frac{\partial \hat{\mathrm{y}}_{\mathrm{j}}^{\mathrm{k}}}{\partial \beta_{\mathrm{j}}} gj=−∂βj∂Ek=−∂y^jk∂Ek⋅∂βj∂y^jk
综上，得到关于 w h j w_{hj} whj 的更新公式为：
Δ w h j = − η ∂ E k ∂ w h j = − η ∂ E k ∂ y ^ j k ⋅ ∂ y ^ j k ∂ β j ⋅ ∂ β j ∂ w h j = − η ( − g j ) b h = η g j b h \Delta w_{hj} =-\eta \frac{\partial E_k}{\partial w_{hj}}=-\eta \frac{\partial E_k}{\partial \hat{y}_j^k} \cdot \frac{\partial \hat{y}_j^k}{\partial \beta_j} \cdot \frac{\partial \beta_j}{\partial w_{h j}}= -\eta (-g_j) b_h= \eta g_j b_h Δwhj=−η∂whj∂Ek=−η∂y^jk∂Ek⋅∂βj∂y^jk⋅∂whj∂βj=−η(−gj)bh=ηgjbh
同理可得 θ j \theta_j θj、 v i h v_{ih} vih、 γ h \gamma_h γh 的更新公式。需注意的是，在计算过程中，确定链式求导公式是关键。
补充 f ( x ) = 1 1 + e − x f(x)=\frac{1}{1+e^{-x}} f(x)=1+e−x1 的导数：
f ′ ( x ) = e − x ( 1 + e − x ) 2 = 1 + e − x − 1 ( 1 + e − x ) 2 = 1 1 + e − x − 1 ( 1 + e − x ) 2 = f ( x ) − ( f ( x ) ) 2 = f ( x ) [ 1 − f ( x ) ] f'(x)=\frac{e^{-x}}{(1+e^{-x})^2} = \frac{1+e^{-x}-1}{(1+e^{-x})^2}= {\frac{1}{1+e^{-x}} - \frac{1}{(1+e^{-x})^2}}=f(x)-(f(x))^2=f(x)[1-f(x)] f′(x)=(1+e−x)2e−x=(1+e−x)21+e−x−1=1+e−x1−(1+e−x)21=f(x)−(f(x))2=f(x)[1−f(x)]
参考文章：
梯度下降的参数更新公式是如何确定的？ - 老董的回答 - 知乎
神经网络之反向传播算法（BP）公式推导 - jsfantasy - 博客园 (cnblogs.com)
DATAWHALE - 一个热爱学习的社区 (linklearner.com)