数据结构5、图 Graph

一、定义

图由顶点的有穷非空集合（在图结构中不允许没有顶点）和顶点之间边的集合组成，通常表示为：G(V,E)。其中，G是一个图，V是图G中顶点的集合，E是图G中边的集合。图中任意两个顶点之间都可能有关系，顶点之间的逻辑关系用边来表示，边集可以是空的。

顶点 (Vertex) ：图中数据元素，也可以叫做节点。

树实际上是图的一种，但并不是所有的图都是树（树是没有环路的连通图）。

简单来说，图是顶点与顶点之间边的集合。

• 图可以分为向图或无向图。有向图的边可以类比为单行道，而无向图的边可以类比为双向车道。
• 图可以包括多个相互隔离的子图。如果任意一对节点都存在一条路径，那么该图被称为连通图。
• 图也可以包括（或不包括）环路。无环路图（acyclic graph）是指没有环路的图。

有些图的边或弧具有与它相关的数字，这种与图的边或弧相关的数叫做权（Weight）。这些权可以表示从一个顶点到另一个顶点的距离或耗费。这种带权的图称为"网"(Network)

二、存储结构

这里介绍两种比较常见的图的存储结构。

1、邻接矩阵

图的邻接矩阵（Adjacency Matrix）存储方式是用两个数组来表示图。一个一维数组存储图中顶点信息，一个二维数组（称为邻接矩阵）存储图中的边或弧的信息。
设图G有n个顶点，则邻接矩阵是一个n×n的方阵，定义为：

无向图的邻接矩阵：

对于矩阵的主对角线的值，即arc[0][0]、arc1、arc2、arc3，全为0是因为不存在顶点到自身的边，比如V0到V0。arc0=1是因为V0到V1的边存在，而arc1=0是因为V1到V3的边不存在。并且由于是无向图，V1到V3的边不存在，意味着V3到V1的边也不存在。所以无向图的边数组是一个对称矩阵。

有向图的邻接矩阵：

因为是有向图，所以此矩阵并不对称，比如由v1到v0有弧，得到arc1[0]=1，而v0到v1没有弧，因此arc0=0。 有向图讲究入度与出度，顶点v1的入度为1，正好是第v1列各数之和。顶点v1的出度为2，即第v1行的各数之和。 与无向图同样的办法，判断顶点vi到vj是否存在弧，只需要查找矩阵中arc[i][j]是否为1即可。要求vi的所有邻接点就是将矩阵第i行元素扫描一遍，查找arc[i][j]为1的顶点。

网的邻接矩阵：

设图G是网图，有n个顶点，则邻接矩阵是一个n×n的方阵，定义为：

这里Wij表示(Vi,Vj)或上的权值。∞表示一个计算机允许的、大于所有边上权值的值，也就是一个不可能的极限值。不为0的原因在于权值Wij大多数情况下是正值，但个别时候可能就是0，甚至有可能是负值。因此必须要用一个不可能的值来代表不存在。下就是一个有向网图，右图就是它的邻接矩阵：

2、邻接表

邻接矩阵对于边数相对顶点较少的图，存在对存储空间的极大浪费的现象。因此这种存储方式对于稀疏图来说不是很合适。借鉴于线性表的解决方案，可以考虑对边或弧使用链式存储的方式来避免空间浪费的问题。即使用数组与链表相结合的存储方式，就诞生了邻接表（Ad-jacency List）。

三、图的遍历

从图中某一顶点出发访遍图中其余顶点，且使每一个顶点仅被访问一次，这一过程就叫做图的遍历。

如深度优先遍历（深度优先搜索），广度优先遍历（广度优先搜索），详细了解这两种算法可查看我前面的章节。

参考

1、《数据结构-图的相关概念》https://www.zybuluo.com/defias/note/291041
2、《算法图解》https://www.manning.com/books/grokking-algorithms